Theorem irredrmul 18707

Description: The product of an irreducible element and a unit is irreducible. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
irredn0.i	|- I = (Irred ` R )
irredrmul.u	|- U = (Unit ` R )
irredrmul.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
irredrmul	|- ( ( R e. Ring /\ X e. I /\ Y e. U ) -> ( X .x. Y ) e. I )

Proof of Theorem irredrmul

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1062	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. I /\ Y e. U ) -> X e. I )
2		simp1 1061	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ X e. I /\ Y e. U ) -> R e. Ring )
3		simp3 1063	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ X e. I /\ Y e. U ) -> Y e. U )
4		irredrmul.u	. . . . . . . . 9 |- U = (Unit ` R )
5		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- (/r ` R ) = (/r ` R )
6	4, 5	unitdvcl 18687	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( X .x. Y ) e. U /\ Y e. U ) -> ( ( X .x. Y ) (/r ` R ) Y ) e. U )
7	6	3com23 1271	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. U /\ ( X .x. Y ) e. U ) -> ( ( X .x. Y ) (/r ` R ) Y ) e. U )
8	7	3expia 1267	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. U ) -> ( ( X .x. Y ) e. U -> ( ( X .x. Y ) (/r ` R ) Y ) e. U ) )
9	2, 3, 8	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ X e. I /\ Y e. U ) -> ( ( X .x. Y ) e. U -> ( ( X .x. Y ) (/r ` R ) Y ) e. U ) )
10		irredn0.i	. . . . . . . . 9 |- I = (Irred ` R )
11		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
12	10, 11	irredcl 18704	. . . . . . . 8 |- ( X e. I -> X e. ( Base ` R ) )
13	12	3ad2ant2 1083	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ X e. I /\ Y e. U ) -> X e. ( Base ` R ) )
14		irredrmul.t	. . . . . . . 8 |- .x. = ( .r ` R )
15	11, 4, 5, 14	dvrcan3 18692	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ X e. ( Base ` R ) /\ Y e. U ) -> ( ( X .x. Y ) (/r ` R ) Y ) = X )
16	2, 13, 3, 15	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ X e. I /\ Y e. U ) -> ( ( X .x. Y ) (/r ` R ) Y ) = X )
17	16	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ X e. I /\ Y e. U ) -> ( ( ( X .x. Y ) (/r ` R ) Y ) e. U <-> X e. U ) )
18	9, 17	sylibd 229	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. I /\ Y e. U ) -> ( ( X .x. Y ) e. U -> X e. U ) )
19	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ X e. I /\ Y e. U ) /\ x e. ( ( Base ` R ) \ U ) ) /\ ( y e. ( ( Base ` R ) \ U ) /\ ( x .x. y ) = ( X .x. Y ) ) ) -> R e. Ring )
20		eldifi 3732	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( ( Base ` R ) \ U ) -> y e. ( Base ` R ) )
21	20	ad2antrl 764	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ X e. I /\ Y e. U ) /\ x e. ( ( Base ` R ) \ U ) ) /\ ( y e. ( ( Base ` R ) \ U ) /\ ( x .x. y ) = ( X .x. Y ) ) ) -> y e. ( Base ` R ) )
22	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ X e. I /\ Y e. U ) /\ x e. ( ( Base ` R ) \ U ) ) /\ ( y e. ( ( Base ` R ) \ U ) /\ ( x .x. y ) = ( X .x. Y ) ) ) -> Y e. U )
23	11, 4, 5	dvrcl 18686	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ y e. ( Base ` R ) /\ Y e. U ) -> ( y (/r ` R ) Y ) e. ( Base ` R ) )
24	19, 21, 22, 23	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ X e. I /\ Y e. U ) /\ x e. ( ( Base ` R ) \ U ) ) /\ ( y e. ( ( Base ` R ) \ U ) /\ ( x .x. y ) = ( X .x. Y ) ) ) -> ( y (/r ` R ) Y ) e. ( Base ` R ) )
25		eldifn 3733	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( ( Base ` R ) \ U ) -> -. y e. U )
26	25	ad2antrl 764	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ X e. I /\ Y e. U ) /\ x e. ( ( Base ` R ) \ U ) ) /\ ( y e. ( ( Base ` R ) \ U ) /\ ( x .x. y ) = ( X .x. Y ) ) ) -> -. y e. U )
27	4, 14	unitmulcl 18664	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Ring /\ ( y (/r ` R ) Y ) e. U /\ Y e. U ) -> ( ( y (/r ` R ) Y ) .x. Y ) e. U )
28	27	3com23 1271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. U /\ ( y (/r ` R ) Y ) e. U ) -> ( ( y (/r ` R ) Y ) .x. Y ) e. U )
29	28	3expia 1267	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. U ) -> ( ( y (/r ` R ) Y ) e. U -> ( ( y (/r ` R ) Y ) .x. Y ) e. U ) )
30	19, 22, 29	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ X e. I /\ Y e. U ) /\ x e. ( ( Base ` R ) \ U ) ) /\ ( y e. ( ( Base ` R ) \ U ) /\ ( x .x. y ) = ( X .x. Y ) ) ) -> ( ( y (/r ` R ) Y ) e. U -> ( ( y (/r ` R ) Y ) .x. Y ) e. U ) )
31	11, 4, 5, 14	dvrcan1 18691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Ring /\ y e. ( Base ` R ) /\ Y e. U ) -> ( ( y (/r ` R ) Y ) .x. Y ) = y )
32	19, 21, 22, 31	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ X e. I /\ Y e. U ) /\ x e. ( ( Base ` R ) \ U ) ) /\ ( y e. ( ( Base ` R ) \ U ) /\ ( x .x. y ) = ( X .x. Y ) ) ) -> ( ( y (/r ` R ) Y ) .x. Y ) = y )
33	32	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ X e. I /\ Y e. U ) /\ x e. ( ( Base ` R ) \ U ) ) /\ ( y e. ( ( Base ` R ) \ U ) /\ ( x .x. y ) = ( X .x. Y ) ) ) -> ( ( ( y (/r ` R ) Y ) .x. Y ) e. U <-> y e. U ) )
34	30, 33	sylibd 229	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ X e. I /\ Y e. U ) /\ x e. ( ( Base ` R ) \ U ) ) /\ ( y e. ( ( Base ` R ) \ U ) /\ ( x .x. y ) = ( X .x. Y ) ) ) -> ( ( y (/r ` R ) Y ) e. U -> y e. U ) )
35	26, 34	mtod 189	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ X e. I /\ Y e. U ) /\ x e. ( ( Base ` R ) \ U ) ) /\ ( y e. ( ( Base ` R ) \ U ) /\ ( x .x. y ) = ( X .x. Y ) ) ) -> -. ( y (/r ` R ) Y ) e. U )
36	24, 35	eldifd 3585	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ X e. I /\ Y e. U ) /\ x e. ( ( Base ` R ) \ U ) ) /\ ( y e. ( ( Base ` R ) \ U ) /\ ( x .x. y ) = ( X .x. Y ) ) ) -> ( y (/r ` R ) Y ) e. ( ( Base ` R ) \ U ) )
37		simprr 796	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ X e. I /\ Y e. U ) /\ x e. ( ( Base ` R ) \ U ) ) /\ ( y e. ( ( Base ` R ) \ U ) /\ ( x .x. y ) = ( X .x. Y ) ) ) -> ( x .x. y ) = ( X .x. Y ) )
38	37	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ X e. I /\ Y e. U ) /\ x e. ( ( Base ` R ) \ U ) ) /\ ( y e. ( ( Base ` R ) \ U ) /\ ( x .x. y ) = ( X .x. Y ) ) ) -> ( ( x .x. y ) (/r ` R ) Y ) = ( ( X .x. Y ) (/r ` R ) Y ) )
39		eldifi 3732	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ( Base ` R ) \ U ) -> x e. ( Base ` R ) )
40	39	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ X e. I /\ Y e. U ) /\ x e. ( ( Base ` R ) \ U ) ) /\ ( y e. ( ( Base ` R ) \ U ) /\ ( x .x. y ) = ( X .x. Y ) ) ) -> x e. ( Base ` R ) )
41	11, 4, 5, 14	dvrass 18690	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ Y e. U ) ) -> ( ( x .x. y ) (/r ` R ) Y ) = ( x .x. ( y (/r ` R ) Y ) ) )
42	19, 40, 21, 22, 41	syl13anc 1328	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ X e. I /\ Y e. U ) /\ x e. ( ( Base ` R ) \ U ) ) /\ ( y e. ( ( Base ` R ) \ U ) /\ ( x .x. y ) = ( X .x. Y ) ) ) -> ( ( x .x. y ) (/r ` R ) Y ) = ( x .x. ( y (/r ` R ) Y ) ) )
43	16	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ X e. I /\ Y e. U ) /\ x e. ( ( Base ` R ) \ U ) ) /\ ( y e. ( ( Base ` R ) \ U ) /\ ( x .x. y ) = ( X .x. Y ) ) ) -> ( ( X .x. Y ) (/r ` R ) Y ) = X )
44	38, 42, 43	3eqtr3d 2664	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ X e. I /\ Y e. U ) /\ x e. ( ( Base ` R ) \ U ) ) /\ ( y e. ( ( Base ` R ) \ U ) /\ ( x .x. y ) = ( X .x. Y ) ) ) -> ( x .x. ( y (/r ` R ) Y ) ) = X )
45		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( y (/r ` R ) Y ) -> ( x .x. z ) = ( x .x. ( y (/r ` R ) Y ) ) )
46	45	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( z = ( y (/r ` R ) Y ) -> ( ( x .x. z ) = X <-> ( x .x. ( y (/r ` R ) Y ) ) = X ) )
47	46	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( ( y (/r ` R ) Y ) e. ( ( Base ` R ) \ U ) /\ ( x .x. ( y (/r ` R ) Y ) ) = X ) -> E. z e. ( ( Base ` R ) \ U ) ( x .x. z ) = X )
48	36, 44, 47	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ X e. I /\ Y e. U ) /\ x e. ( ( Base ` R ) \ U ) ) /\ ( y e. ( ( Base ` R ) \ U ) /\ ( x .x. y ) = ( X .x. Y ) ) ) -> E. z e. ( ( Base ` R ) \ U ) ( x .x. z ) = X )
49	48	rexlimdvaa 3032	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. I /\ Y e. U ) /\ x e. ( ( Base ` R ) \ U ) ) -> ( E. y e. ( ( Base ` R ) \ U ) ( x .x. y ) = ( X .x. Y ) -> E. z e. ( ( Base ` R ) \ U ) ( x .x. z ) = X ) )
50	49	reximdva 3017	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. I /\ Y e. U ) -> ( E. x e. ( ( Base ` R ) \ U ) E. y e. ( ( Base ` R ) \ U ) ( x .x. y ) = ( X .x. Y ) -> E. x e. ( ( Base ` R ) \ U ) E. z e. ( ( Base ` R ) \ U ) ( x .x. z ) = X ) )
51	18, 50	orim12d 883	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. I /\ Y e. U ) -> ( ( ( X .x. Y ) e. U \/ E. x e. ( ( Base ` R ) \ U ) E. y e. ( ( Base ` R ) \ U ) ( x .x. y ) = ( X .x. Y ) ) -> ( X e. U \/ E. x e. ( ( Base ` R ) \ U ) E. z e. ( ( Base ` R ) \ U ) ( x .x. z ) = X ) ) )
52	11, 4	unitcl 18659	. . . . . 6 |- ( Y e. U -> Y e. ( Base ` R ) )
53	52	3ad2ant3 1084	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ X e. I /\ Y e. U ) -> Y e. ( Base ` R ) )
54	11, 14	ringcl 18561	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ X e. ( Base ` R ) /\ Y e. ( Base ` R ) ) -> ( X .x. Y ) e. ( Base ` R ) )
55	2, 13, 53, 54	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. I /\ Y e. U ) -> ( X .x. Y ) e. ( Base ` R ) )
56		eqid 2622	. . . . 5 |- ( ( Base ` R ) \ U ) = ( ( Base ` R ) \ U )
57	11, 4, 10, 56, 14	isnirred 18700	. . . 4 |- ( ( X .x. Y ) e. ( Base ` R ) -> ( -. ( X .x. Y ) e. I <-> ( ( X .x. Y ) e. U \/ E. x e. ( ( Base ` R ) \ U ) E. y e. ( ( Base ` R ) \ U ) ( x .x. y ) = ( X .x. Y ) ) ) )
58	55, 57	syl 17	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. I /\ Y e. U ) -> ( -. ( X .x. Y ) e. I <-> ( ( X .x. Y ) e. U \/ E. x e. ( ( Base ` R ) \ U ) E. y e. ( ( Base ` R ) \ U ) ( x .x. y ) = ( X .x. Y ) ) ) )
59	11, 4, 10, 56, 14	isnirred 18700	. . . 4 |- ( X e. ( Base ` R ) -> ( -. X e. I <-> ( X e. U \/ E. x e. ( ( Base ` R ) \ U ) E. z e. ( ( Base ` R ) \ U ) ( x .x. z ) = X ) ) )
60	13, 59	syl 17	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. I /\ Y e. U ) -> ( -. X e. I <-> ( X e. U \/ E. x e. ( ( Base ` R ) \ U ) E. z e. ( ( Base ` R ) \ U ) ( x .x. z ) = X ) ) )
61	51, 58, 60	3imtr4d 283	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. I /\ Y e. U ) -> ( -. ( X .x. Y ) e. I -> -. X e. I ) )
62	1, 61	mt4d 152	1 |- ( ( R e. Ring /\ X e. I /\ Y e. U ) -> ( X .x. Y ) e. I )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   \ cdif 3571   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   Ringcrg 18547  Unitcui 18639  Irredcir 18640  /_rcdvr 18682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-irred 18643  df-invr 18672  df-dvr 18683

This theorem is referenced by:  irredlmul  18708  irredneg  18710