Theorem isperf3 20957

Description: A perfect space is a topology which has no open singletons. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
lpfval.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
isperf3	|- ( J e. Perf <-> ( J e. Top /\ A. x e. X -. { x } e. J ) )

Distinct variable groups:   x, J   x, X

Proof of Theorem isperf3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpfval.1	. . 3 |- X = U. J
2	1	isperf2 20956	. 2 |- ( J e. Perf <-> ( J e. Top /\ X C_ ( ( limPt ` J ) ` X ) ) )
3		dfss3 3592	. . . 4 |- ( X C_ ( ( limPt ` J ) ` X ) <-> A. x e. X x e. ( ( limPt ` J ) ` X ) )
4	1	maxlp 20951	. . . . . 6 |- ( J e. Top -> ( x e. ( ( limPt ` J ) ` X ) <-> ( x e. X /\ -. { x } e. J ) ) )
5	4	baibd 948	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ x e. X ) -> ( x e. ( ( limPt ` J ) ` X ) <-> -. { x } e. J ) )
6	5	ralbidva 2985	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( A. x e. X x e. ( ( limPt ` J ) ` X ) <-> A. x e. X -. { x } e. J ) )
7	3, 6	syl5bb 272	. . 3 |- ( J e. Top -> ( X C_ ( ( limPt ` J ) ` X ) <-> A. x e. X -. { x } e. J ) )
8	7	pm5.32i 669	. 2 |- ( ( J e. Top /\ X C_ ( ( limPt ` J ) ` X ) ) <-> ( J e. Top /\ A. x e. X -. { x } e. J ) )
9	2, 8	bitri 264	1 |- ( J e. Perf <-> ( J e. Top /\ A. x e. X -. { x } e. J ) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   {csn 4177   U.cuni 4436   ` cfv 5888   Topctop 20698   limPtclp 20938  Perfcperf 20939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-top 20699  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-lp 20940  df-perf 20941

This theorem is referenced by:  perfi  20959  perfopn  20989  t1connperf  21239