Theorem maxlp 20951

Description: A point is a limit point of the whole space iff the singleton of the point is not open. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
lpfval.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
maxlp	|- ( J e. Top -> ( P e. ( ( limPt ` J ) ` X ) <-> ( P e. X /\ -. { P } e. J ) ) )

Proof of Theorem maxlp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3624	. . . . 5 |- X C_ X
2		lpfval.1	. . . . . 6 |- X = U. J
3	2	lpss 20946	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ X C_ X ) -> ( ( limPt ` J ) ` X ) C_ X )
4	1, 3	mpan2 707	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( ( limPt ` J ) ` X ) C_ X )
5	4	sseld 3602	. . 3 |- ( J e. Top -> ( P e. ( ( limPt ` J ) ` X ) -> P e. X ) )
6	5	pm4.71rd 667	. 2 |- ( J e. Top -> ( P e. ( ( limPt ` J ) ` X ) <-> ( P e. X /\ P e. ( ( limPt ` J ) ` X ) ) ) )
7		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ P e. X ) -> J e. Top )
8	2	islp 20944	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ X C_ X ) -> ( P e. ( ( limPt ` J ) ` X ) <-> P e. ( ( cls ` J ) ` ( X \ { P } ) ) ) )
9	7, 1, 8	sylancl 694	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ P e. X ) -> ( P e. ( ( limPt ` J ) ` X ) <-> P e. ( ( cls ` J ) ` ( X \ { P } ) ) ) )
10		snssi 4339	. . . . . 6 |- ( P e. X -> { P } C_ X )
11	2	clsdif 20857	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ { P } C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` ( X \ { P } ) ) = ( X \ ( ( int ` J ) ` { P } ) ) )
12	10, 11	sylan2 491	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ P e. X ) -> ( ( cls ` J ) ` ( X \ { P } ) ) = ( X \ ( ( int ` J ) ` { P } ) ) )
13	12	eleq2d 2687	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ P e. X ) -> ( P e. ( ( cls ` J ) ` ( X \ { P } ) ) <-> P e. ( X \ ( ( int ` J ) ` { P } ) ) ) )
14		eldif 3584	. . . . . . 7 |- ( P e. ( X \ ( ( int ` J ) ` { P } ) ) <-> ( P e. X /\ -. P e. ( ( int ` J ) ` { P } ) ) )
15	14	baib 944	. . . . . 6 |- ( P e. X -> ( P e. ( X \ ( ( int ` J ) ` { P } ) ) <-> -. P e. ( ( int ` J ) ` { P } ) ) )
16	15	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ P e. X ) -> ( P e. ( X \ ( ( int ` J ) ` { P } ) ) <-> -. P e. ( ( int ` J ) ` { P } ) ) )
17		snssi 4339	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( ( int ` J ) ` { P } ) -> { P } C_ ( ( int ` J ) ` { P } ) )
18	17	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ P e. X ) /\ P e. ( ( int ` J ) ` { P } ) ) -> { P } C_ ( ( int ` J ) ` { P } ) )
19	2	ntrss2 20861	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ { P } C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` { P } ) C_ { P } )
20	10, 19	sylan2 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ P e. X ) -> ( ( int ` J ) ` { P } ) C_ { P } )
21	20	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ P e. X ) /\ P e. ( ( int ` J ) ` { P } ) ) -> ( ( int ` J ) ` { P } ) C_ { P } )
22	18, 21	eqssd 3620	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ P e. X ) /\ P e. ( ( int ` J ) ` { P } ) ) -> { P } = ( ( int ` J ) ` { P } ) )
23	2	ntropn 20853	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ { P } C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` { P } ) e. J )
24	10, 23	sylan2 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ P e. X ) -> ( ( int ` J ) ` { P } ) e. J )
25	24	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ P e. X ) /\ P e. ( ( int ` J ) ` { P } ) ) -> ( ( int ` J ) ` { P } ) e. J )
26	22, 25	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ P e. X ) /\ P e. ( ( int ` J ) ` { P } ) ) -> { P } e. J )
27		snidg 4206	. . . . . . . . 9 |- ( P e. X -> P e. { P } )
28	27	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ P e. X ) /\ { P } e. J ) -> P e. { P } )
29		isopn3i 20886	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ { P } e. J ) -> ( ( int ` J ) ` { P } ) = { P } )
30	29	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ P e. X ) /\ { P } e. J ) -> ( ( int ` J ) ` { P } ) = { P } )
31	28, 30	eleqtrrd 2704	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ P e. X ) /\ { P } e. J ) -> P e. ( ( int ` J ) ` { P } ) )
32	26, 31	impbida 877	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ P e. X ) -> ( P e. ( ( int ` J ) ` { P } ) <-> { P } e. J ) )
33	32	notbid 308	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ P e. X ) -> ( -. P e. ( ( int ` J ) ` { P } ) <-> -. { P } e. J ) )
34	16, 33	bitrd 268	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ P e. X ) -> ( P e. ( X \ ( ( int ` J ) ` { P } ) ) <-> -. { P } e. J ) )
35	9, 13, 34	3bitrd 294	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ P e. X ) -> ( P e. ( ( limPt ` J ) ` X ) <-> -. { P } e. J ) )
36	35	pm5.32da 673	. 2 |- ( J e. Top -> ( ( P e. X /\ P e. ( ( limPt ` J ) ` X ) ) <-> ( P e. X /\ -. { P } e. J ) ) )
37	6, 36	bitrd 268	1 |- ( J e. Top -> ( P e. ( ( limPt ` J ) ` X ) <-> ( P e. X /\ -. { P } e. J ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   U.cuni 4436   ` cfv 5888   Topctop 20698   intcnt 20821   clsccl 20822   limPtclp 20938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-top 20699  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-lp 20940

This theorem is referenced by:  isperf3  20957