Theorem issgon 30186

Description: Property of being a sigma-algebra with a given base set, noting that the base set of a sigma-algebra is actually its union set. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Sep-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 23-Oct-2016.)

Assertion

Ref	Expression
issgon	|- ( S e. (sigAlgebra ` O ) <-> ( S e. U. ran sigAlgebra /\ O = U. S ) )

Proof of Theorem issgon

Dummy variables x o are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvssunirn 6217	. . . 4 |- (sigAlgebra ` O ) C_ U. ran sigAlgebra
2	1	sseli 3599	. . 3 |- ( S e. (sigAlgebra ` O ) -> S e. U. ran sigAlgebra )
3		elex 3212	. . . 4 |- ( S e. (sigAlgebra ` O ) -> S e. _V )
4		issiga 30174	. . . . 5 |- ( S e. _V -> ( S e. (sigAlgebra ` O ) <-> ( S C_ ~P O /\ ( O e. S /\ A. x e. S ( O \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) ) ) )
5		elpwuni 4616	. . . . . . . 8 |- ( O e. S -> ( S C_ ~P O <-> U. S = O ) )
6	5	biimpa 501	. . . . . . 7 |- ( ( O e. S /\ S C_ ~P O ) -> U. S = O )
7		ancom 466	. . . . . . 7 |- ( ( S C_ ~P O /\ O e. S ) <-> ( O e. S /\ S C_ ~P O ) )
8		eqcom 2629	. . . . . . 7 |- ( O = U. S <-> U. S = O )
9	6, 7, 8	3imtr4i 281	. . . . . 6 |- ( ( S C_ ~P O /\ O e. S ) -> O = U. S )
10	9	3ad2antr1 1226	. . . . 5 |- ( ( S C_ ~P O /\ ( O e. S /\ A. x e. S ( O \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) ) -> O = U. S )
11	4, 10	syl6bi 243	. . . 4 |- ( S e. _V -> ( S e. (sigAlgebra ` O ) -> O = U. S ) )
12	3, 11	mpcom 38	. . 3 |- ( S e. (sigAlgebra ` O ) -> O = U. S )
13	2, 12	jca 554	. 2 |- ( S e. (sigAlgebra ` O ) -> ( S e. U. ran sigAlgebra /\ O = U. S ) )
14		elex 3212	. . . . 5 |- ( S e. U. ran sigAlgebra -> S e. _V )
15		isrnsiga 30176	. . . . . . . 8 |- ( S e. U. ran sigAlgebra <-> ( S e. _V /\ E. o ( S C_ ~P o /\ ( o e. S /\ A. x e. S ( o \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) ) ) )
16	15	simprbi 480	. . . . . . 7 |- ( S e. U. ran sigAlgebra -> E. o ( S C_ ~P o /\ ( o e. S /\ A. x e. S ( o \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) ) )
17		elpwuni 4616	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( o e. S -> ( S C_ ~P o <-> U. S = o ) )
18	17	biimpa 501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( o e. S /\ S C_ ~P o ) -> U. S = o )
19		ancom 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S C_ ~P o /\ o e. S ) <-> ( o e. S /\ S C_ ~P o ) )
20		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( o = U. S <-> U. S = o )
21	18, 19, 20	3imtr4i 281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S C_ ~P o /\ o e. S ) -> o = U. S )
22	21	3ad2antr1 1226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S C_ ~P o /\ ( o e. S /\ A. x e. S ( o \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) ) -> o = U. S )
23		pweq 4161	. . . . . . . . . . . 12 |- ( o = U. S -> ~P o = ~P U. S )
24	23	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . 11 |- ( o = U. S -> ( S C_ ~P o <-> S C_ ~P U. S ) )
25		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( o = U. S -> ( o e. S <-> U. S e. S ) )
26		difeq1 3721	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( o = U. S -> ( o \ x ) = ( U. S \ x ) )
27	26	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( o = U. S -> ( ( o \ x ) e. S <-> ( U. S \ x ) e. S ) )
28	27	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . 12 |- ( o = U. S -> ( A. x e. S ( o \ x ) e. S <-> A. x e. S ( U. S \ x ) e. S ) )
29	25, 28	3anbi12d 1400	. . . . . . . . . . 11 |- ( o = U. S -> ( ( o e. S /\ A. x e. S ( o \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) <-> ( U. S e. S /\ A. x e. S ( U. S \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) ) )
30	24, 29	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( o = U. S -> ( ( S C_ ~P o /\ ( o e. S /\ A. x e. S ( o \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) ) <-> ( S C_ ~P U. S /\ ( U. S e. S /\ A. x e. S ( U. S \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) ) ) )
31	22, 30	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( S C_ ~P o /\ ( o e. S /\ A. x e. S ( o \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) ) -> ( ( S C_ ~P o /\ ( o e. S /\ A. x e. S ( o \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) ) <-> ( S C_ ~P U. S /\ ( U. S e. S /\ A. x e. S ( U. S \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) ) ) )
32	31	ibi 256	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ ~P o /\ ( o e. S /\ A. x e. S ( o \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) ) -> ( S C_ ~P U. S /\ ( U. S e. S /\ A. x e. S ( U. S \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) ) )
33	32	exlimiv 1858	. . . . . . 7 |- ( E. o ( S C_ ~P o /\ ( o e. S /\ A. x e. S ( o \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) ) -> ( S C_ ~P U. S /\ ( U. S e. S /\ A. x e. S ( U. S \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) ) )
34	16, 33	syl 17	. . . . . 6 |- ( S e. U. ran sigAlgebra -> ( S C_ ~P U. S /\ ( U. S e. S /\ A. x e. S ( U. S \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) ) )
35	34	simprd 479	. . . . 5 |- ( S e. U. ran sigAlgebra -> ( U. S e. S /\ A. x e. S ( U. S \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) )
36	14, 35	jca 554	. . . 4 |- ( S e. U. ran sigAlgebra -> ( S e. _V /\ ( U. S e. S /\ A. x e. S ( U. S \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) ) )
37		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( O = U. S -> ( O e. S <-> U. S e. S ) )
38		difeq1 3721	. . . . . . . . . 10 |- ( O = U. S -> ( O \ x ) = ( U. S \ x ) )
39	38	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( O = U. S -> ( ( O \ x ) e. S <-> ( U. S \ x ) e. S ) )
40	39	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( O = U. S -> ( A. x e. S ( O \ x ) e. S <-> A. x e. S ( U. S \ x ) e. S ) )
41	37, 40	3anbi12d 1400	. . . . . . 7 |- ( O = U. S -> ( ( O e. S /\ A. x e. S ( O \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) <-> ( U. S e. S /\ A. x e. S ( U. S \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) ) )
42	41	biimprd 238	. . . . . 6 |- ( O = U. S -> ( ( U. S e. S /\ A. x e. S ( U. S \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) -> ( O e. S /\ A. x e. S ( O \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) ) )
43		pwuni 4474	. . . . . . 7 |- S C_ ~P U. S
44		pweq 4161	. . . . . . 7 |- ( O = U. S -> ~P O = ~P U. S )
45	43, 44	syl5sseqr 3654	. . . . . 6 |- ( O = U. S -> S C_ ~P O )
46	42, 45	jctild 566	. . . . 5 |- ( O = U. S -> ( ( U. S e. S /\ A. x e. S ( U. S \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) -> ( S C_ ~P O /\ ( O e. S /\ A. x e. S ( O \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) ) ) )
47	46	anim2d 589	. . . 4 |- ( O = U. S -> ( ( S e. _V /\ ( U. S e. S /\ A. x e. S ( U. S \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) ) -> ( S e. _V /\ ( S C_ ~P O /\ ( O e. S /\ A. x e. S ( O \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) ) ) ) )
48	4	biimpar 502	. . . 4 |- ( ( S e. _V /\ ( S C_ ~P O /\ ( O e. S /\ A. x e. S ( O \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) ) ) -> S e. (sigAlgebra ` O ) )
49	36, 47, 48	syl56 36	. . 3 |- ( O = U. S -> ( S e. U. ran sigAlgebra -> S e. (sigAlgebra ` O ) ) )
50	49	impcom 446	. 2 |- ( ( S e. U. ran sigAlgebra /\ O = U. S ) -> S e. (sigAlgebra ` O ) )
51	13, 50	impbii 199	1 |- ( S e. (sigAlgebra ` O ) <-> ( S e. U. ran sigAlgebra /\ O = U. S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   ran crn 5115   ` cfv 5888   omcom 7065   ~<_ cdom 7953  sigAlgebracsiga 30170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-fv 5896  df-siga 30171

This theorem is referenced by:  sgon  30187  unisg  30206  sxsigon  30255  sxuni  30256  1stmbfm  30322  2ndmbfm  30323  mbfmvolf  30328