Theorem 0elsiga 30177

Description: A sigma-algebra contains the empty set. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
0elsiga	|- ( S e. U. ran sigAlgebra -> (/) e. S )

Proof of Theorem 0elsiga

Dummy variables o x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isrnsiga 30176	. . 3 |- ( S e. U. ran sigAlgebra <-> ( S e. _V /\ E. o ( S C_ ~P o /\ ( o e. S /\ A. x e. S ( o \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) ) ) )
2	1	simprbi 480	. 2 |- ( S e. U. ran sigAlgebra -> E. o ( S C_ ~P o /\ ( o e. S /\ A. x e. S ( o \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) ) )
3		3simpa 1058	. . . 4 |- ( ( o e. S /\ A. x e. S ( o \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) -> ( o e. S /\ A. x e. S ( o \ x ) e. S ) )
4	3	adantl 482	. . 3 |- ( ( S C_ ~P o /\ ( o e. S /\ A. x e. S ( o \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) ) -> ( o e. S /\ A. x e. S ( o \ x ) e. S ) )
5	4	eximi 1762	. 2 |- ( E. o ( S C_ ~P o /\ ( o e. S /\ A. x e. S ( o \ x ) e. S /\ A. x e. ~P S ( x ~<_ om -> U. x e. S ) ) ) -> E. o ( o e. S /\ A. x e. S ( o \ x ) e. S ) )
6		difeq2 3722	. . . . . 6 |- ( x = o -> ( o \ x ) = ( o \ o ) )
7		difid 3948	. . . . . 6 |- ( o \ o ) = (/)
8	6, 7	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( x = o -> ( o \ x ) = (/) )
9	8	eleq1d 2686	. . . 4 |- ( x = o -> ( ( o \ x ) e. S <-> (/) e. S ) )
10	9	rspcva 3307	. . 3 |- ( ( o e. S /\ A. x e. S ( o \ x ) e. S ) -> (/) e. S )
11	10	exlimiv 1858	. 2 |- ( E. o ( o e. S /\ A. x e. S ( o \ x ) e. S ) -> (/) e. S )
12	2, 5, 11	3syl 18	1 |- ( S e. U. ran sigAlgebra -> (/) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   ran crn 5115   omcom 7065   ~<_ cdom 7953  sigAlgebracsiga 30170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-fv 5896  df-siga 30171

This theorem is referenced by:  sigaclfu2  30184  sigaldsys  30222  brsiga  30246  measvuni  30277  measinb  30284  measres  30285  measdivcstOLD  30287  measdivcst  30288  cntmeas  30289  volmeas  30294  mbfmcst  30321  sibfof  30402  nuleldmp  30479  0rrv  30513  dstrvprob  30533