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Theorem issubc 16495
Description: Elementhood in the set of subcategories. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
issubc.h |- H = ( Hom f ` C )
issubc.i |- .1. = ( Id ` C )
issubc.o |- .x. = (comp ` C )
issubc.c |- ( ph -> C e. Cat )
issubc.s |- ( ph -> S = dom dom J )
Assertion
Ref Expression
issubc |- ( ph -> ( J e. (Subcat ` C ) <-> ( J C_cat H /\ A. x e. S ( ( .1. ` x ) e. ( x J x ) /\ A. y e. S A. z e. S A. f e. ( x J y ) A. g e. ( y J z ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x J z ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   f, g, x, y, z, C   f, J, g, x, y, z   S, f, g, x, y, z
Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, f, g)   .x. ( x, y, z, f, g)   .1. ( x, y, z, f, g)   H( x, y, z, f, g)
Proof of Theorem issubc
Dummy variables c j s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issubc.c . 2 |- ( ph -> C e. Cat )
2 issubc.s . 2 |- ( ph -> S = dom dom J )
3 simpl 473 . . . . 5 |- ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) -> C e. Cat )
4 sscpwex 16475 . . . . . . . 8 |- { j | j C_cat ( Hom f ` c ) } e. _V
5 simpl 473 . . . . . . . . 9 |- ( ( j C_cat ( Hom f ` c ) /\ [. dom dom j / s ]. A. x e. s ( ( ( Id ` c ) ` x ) e. ( x j x ) /\ A. y e. s A. z e. s A. f e. ( x j y ) A. g e. ( y j z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` c ) z ) f ) e. ( x j z ) ) ) -> j C_cat ( Hom f ` c ) )
65ss2abi 3674 . . . . . . . 8 |- { j | ( j C_cat ( Hom f ` c ) /\ [. dom dom j / s ]. A. x e. s ( ( ( Id ` c ) ` x ) e. ( x j x ) /\ A. y e. s A. z e. s A. f e. ( x j y ) A. g e. ( y j z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` c ) z ) f ) e. ( x j z ) ) ) } C_ { j | j C_cat ( Hom f ` c ) }
74, 6ssexi 4803 . . . . . . 7 |- { j | ( j C_cat ( Hom f ` c ) /\ [. dom dom j / s ]. A. x e. s ( ( ( Id ` c ) ` x ) e. ( x j x ) /\ A. y e. s A. z e. s A. f e. ( x j y ) A. g e. ( y j z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` c ) z ) f ) e. ( x j z ) ) ) } e. _V
87csbex 4793 . . . . . 6 |- [_ C / c ]_ { j | ( j C_cat ( Hom f ` c ) /\ [. dom dom j / s ]. A. x e. s ( ( ( Id ` c ) ` x ) e. ( x j x ) /\ A. y e. s A. z e. s A. f e. ( x j y ) A. g e. ( y j z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` c ) z ) f ) e. ( x j z ) ) ) } e. _V
98a1i 11 . . . . 5 |- ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) -> [_ C / c ]_ { j | ( j C_cat ( Hom f ` c ) /\ [. dom dom j / s ]. A. x e. s ( ( ( Id ` c ) ` x ) e. ( x j x ) /\ A. y e. s A. z e. s A. f e. ( x j y ) A. g e. ( y j z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` c ) z ) f ) e. ( x j z ) ) ) } e. _V )
10 df-subc 16472 . . . . . 6 |- Subcat = ( c e. Cat |-> { j | ( j C_cat ( Hom f ` c ) /\ [. dom dom j / s ]. A. x e. s ( ( ( Id ` c ) ` x ) e. ( x j x ) /\ A. y e. s A. z e. s A. f e. ( x j y ) A. g e. ( y j z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` c ) z ) f ) e. ( x j z ) ) ) } )
1110fvmpts 6285 . . . . 5 |- ( ( C e. Cat /\ [_ C / c ]_ { j | ( j C_cat ( Hom f ` c ) /\ [. dom dom j / s ]. A. x e. s ( ( ( Id ` c ) ` x ) e. ( x j x ) /\ A. y e. s A. z e. s A. f e. ( x j y ) A. g e. ( y j z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` c ) z ) f ) e. ( x j z ) ) ) } e. _V ) -> (Subcat ` C ) = [_ C / c ]_ { j | ( j C_cat ( Hom f ` c ) /\ [. dom dom j / s ]. A. x e. s ( ( ( Id ` c ) ` x ) e. ( x j x ) /\ A. y e. s A. z e. s A. f e. ( x j y ) A. g e. ( y j z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` c ) z ) f ) e. ( x j z ) ) ) } )
123, 9, 11syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) -> (Subcat ` C ) = [_ C / c ]_ { j | ( j C_cat ( Hom f ` c ) /\ [. dom dom j / s ]. A. x e. s ( ( ( Id ` c ) ` x ) e. ( x j x ) /\ A. y e. s A. z e. s A. f e. ( x j y ) A. g e. ( y j z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` c ) z ) f ) e. ( x j z ) ) ) } )
1312eleq2d 2687 . . 3 |- ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) -> ( J e. (Subcat ` C ) <-> J e. [_ C / c ]_ { j | ( j C_cat ( Hom f ` c ) /\ [. dom dom j / s ]. A. x e. s ( ( ( Id ` c ) ` x ) e. ( x j x ) /\ A. y e. s A. z e. s A. f e. ( x j y ) A. g e. ( y j z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` c ) z ) f ) e. ( x j z ) ) ) } ) )
14 sbcel2 3989 . . . 4 |- ( [. C / c ]. J e. { j | ( j C_cat ( Hom f ` c ) /\ [. dom dom j / s ]. A. x e. s ( ( ( Id ` c ) ` x ) e. ( x j x ) /\ A. y e. s A. z e. s A. f e. ( x j y ) A. g e. ( y j z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` c ) z ) f ) e. ( x j z ) ) ) } <-> J e. [_ C / c ]_ { j | ( j C_cat ( Hom f ` c ) /\ [. dom dom j / s ]. A. x e. s ( ( ( Id ` c ) ` x ) e. ( x j x ) /\ A. y e. s A. z e. s A. f e. ( x j y ) A. g e. ( y j z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` c ) z ) f ) e. ( x j z ) ) ) } )
1514a1i 11 . . 3 |- ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) -> ( [. C / c ]. J e. { j | ( j C_cat ( Hom f ` c ) /\ [. dom dom j / s ]. A. x e. s ( ( ( Id ` c ) ` x ) e. ( x j x ) /\ A. y e. s A. z e. s A. f e. ( x j y ) A. g e. ( y j z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` c ) z ) f ) e. ( x j z ) ) ) } <-> J e. [_ C / c ]_ { j | ( j C_cat ( Hom f ` c ) /\ [. dom dom j / s ]. A. x e. s ( ( ( Id ` c ) ` x ) e. ( x j x ) /\ A. y e. s A. z e. s A. f e. ( x j y ) A. g e. ( y j z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` c ) z ) f ) e. ( x j z ) ) ) } ) )
16 elex 3212 . . . . . 6 |- ( J e. { j | ( j C_cat ( Hom f ` c ) /\ [. dom dom j / s ]. A. x e. s ( ( ( Id ` c ) ` x ) e. ( x j x ) /\ A. y e. s A. z e. s A. f e. ( x j y ) A. g e. ( y j z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` c ) z ) f ) e. ( x j z ) ) ) } -> J e. _V )
1716a1i 11 . . . . 5 |- ( ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) /\ c = C ) -> ( J e. { j | ( j C_cat ( Hom f ` c ) /\ [. dom dom j / s ]. A. x e. s ( ( ( Id ` c ) ` x ) e. ( x j x ) /\ A. y e. s A. z e. s A. f e. ( x j y ) A. g e. ( y j z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` c ) z ) f ) e. ( x j z ) ) ) } -> J e. _V ) )
18 sscrel 16473 . . . . . . . 8 |- Rel C_cat
1918brrelexi 5158 . . . . . . 7 |- ( J C_cat H -> J e. _V )
2019adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( J C_cat H /\ A. x e. S ( ( .1. ` x ) e. ( x J x ) /\ A. y e. S A. z e. S A. f e. ( x J y ) A. g e. ( y J z ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x J z ) ) ) -> J e. _V )
2120a1i 11 . . . . 5 |- ( ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) /\ c = C ) -> ( ( J C_cat H /\ A. x e. S ( ( .1. ` x ) e. ( x J x ) /\ A. y e. S A. z e. S A. f e. ( x J y ) A. g e. ( y J z ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x J z ) ) ) -> J e. _V ) )
22 df-sbc 3436 . . . . . . 7 |- ( [. J / j ]. ( j C_cat ( Hom f ` c ) /\ [. dom dom j / s ]. A. x e. s ( ( ( Id ` c ) ` x ) e. ( x j x ) /\ A. y e. s A. z e. s A. f e. ( x j y ) A. g e. ( y j z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` c ) z ) f ) e. ( x j z ) ) ) <-> J e. { j | ( j C_cat ( Hom f ` c ) /\ [. dom dom j / s ]. A. x e. s ( ( ( Id ` c ) ` x ) e. ( x j x ) /\ A. y e. s A. z e. s A. f e. ( x j y ) A. g e. ( y j z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` c ) z ) f ) e. ( x j z ) ) ) } )
23 simpr 477 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) /\ c = C ) /\ J e. _V ) -> J e. _V )
24 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) /\ c = C ) /\ j = J ) -> j = J )
25 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) /\ c = C ) -> c = C )
2625fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) /\ c = C ) -> ( Hom f ` c ) = ( Hom f ` C ) )
27 issubc.h . . . . . . . . . . . . 13 |- H = ( Hom f ` C )
2826, 27syl6eqr 2674 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) /\ c = C ) -> ( Hom f ` c ) = H )
2928adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) /\ c = C ) /\ j = J ) -> ( Hom f ` c ) = H )
3024, 29breq12d 4666 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) /\ c = C ) /\ j = J ) -> ( j C_cat ( Hom f ` c ) <-> J C_cat H ) )
31 vex 3203 . . . . . . . . . . . . . 14 |- j e. _V
3231dmex 7099 . . . . . . . . . . . . 13 |- dom j e. _V
3332dmex 7099 . . . . . . . . . . . 12 |- dom dom j e. _V
3433a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) /\ c = C ) /\ j = J ) -> dom dom j e. _V )
3524dmeqd 5326 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) /\ c = C ) /\ j = J ) -> dom j = dom J )
3635dmeqd 5326 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) /\ c = C ) /\ j = J ) -> dom dom j = dom dom J )
37 simpllr 799 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) /\ c = C ) /\ j = J ) -> S = dom dom J )
3836, 37eqtr4d 2659 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) /\ c = C ) /\ j = J ) -> dom dom j = S )
39 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) /\ c = C ) /\ j = J ) /\ s = S ) -> s = S )
40 simpllr 799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) /\ c = C ) /\ j = J ) /\ s = S ) -> c = C )
4140fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) /\ c = C ) /\ j = J ) /\ s = S ) -> ( Id ` c ) = ( Id ` C ) )
42 issubc.i . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- .1. = ( Id ` C )
4341, 42syl6eqr 2674 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) /\ c = C ) /\ j = J ) /\ s = S ) -> ( Id ` c ) = .1. )
4443fveq1d 6193 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) /\ c = C ) /\ j = J ) /\ s = S ) -> ( ( Id ` c ) ` x ) = ( .1. ` x ) )
45 simplr 792 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) /\ c = C ) /\ j = J ) /\ s = S ) -> j = J )
4645oveqd 6667 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) /\ c = C ) /\ j = J ) /\ s = S ) -> ( x j x ) = ( x J x ) )
4744, 46eleq12d 2695 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) /\ c = C ) /\ j = J ) /\ s = S ) -> ( ( ( Id ` c ) ` x ) e. ( x j x ) <-> ( .1. ` x ) e. ( x J x ) ) )
4845oveqd 6667 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) /\ c = C ) /\ j = J ) /\ s = S ) -> ( x j y ) = ( x J y ) )
4945oveqd 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) /\ c = C ) /\ j = J ) /\ s = S ) -> ( y j z ) = ( y J z ) )
5040fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) /\ c = C ) /\ j = J ) /\ s = S ) -> (comp ` c ) = (comp ` C ) )
51 issubc.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- .x. = (comp ` C )
5250, 51syl6eqr 2674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) /\ c = C ) /\ j = J ) /\ s = S ) -> (comp ` c ) = .x. )
5352oveqd 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) /\ c = C ) /\ j = J ) /\ s = S ) -> ( <. x , y >. (comp ` c ) z ) = ( <. x , y >. .x. z ) )
5453oveqd 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) /\ c = C ) /\ j = J ) /\ s = S ) -> ( g ( <. x , y >. (comp ` c ) z ) f ) = ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) )
5545oveqd 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) /\ c = C ) /\ j = J ) /\ s = S ) -> ( x j z ) = ( x J z ) )
5654, 55eleq12d 2695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) /\ c = C ) /\ j = J ) /\ s = S ) -> ( ( g ( <. x , y >. (comp ` c ) z ) f ) e. ( x j z ) <-> ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x J z ) ) )
5749, 56raleqbidv 3152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) /\ c = C ) /\ j = J ) /\ s = S ) -> ( A. g e. ( y j z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` c ) z ) f ) e. ( x j z ) <-> A. g e. ( y J z ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x J z ) ) )
5848, 57raleqbidv 3152 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) /\ c = C ) /\ j = J ) /\ s = S ) -> ( A. f e. ( x j y ) A. g e. ( y j z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` c ) z ) f ) e. ( x j z ) <-> A. f e. ( x J y ) A. g e. ( y J z ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x J z ) ) )
5939, 58raleqbidv 3152 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) /\ c = C ) /\ j = J ) /\ s = S ) -> ( A. z e. s A. f e. ( x j y ) A. g e. ( y j z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` c ) z ) f ) e. ( x j z ) <-> A. z e. S A. f e. ( x J y ) A. g e. ( y J z ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x J z ) ) )
6039, 59raleqbidv 3152 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) /\ c = C ) /\ j = J ) /\ s = S ) -> ( A. y e. s A. z e. s A. f e. ( x j y ) A. g e. ( y j z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` c ) z ) f ) e. ( x j z ) <-> A. y e. S A. z e. S A. f e. ( x J y ) A. g e. ( y J z ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x J z ) ) )
6147, 60anbi12d 747 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) /\ c = C ) /\ j = J ) /\ s = S ) -> ( ( ( ( Id ` c ) ` x ) e. ( x j x ) /\ A. y e. s A. z e. s A. f e. ( x j y ) A. g e. ( y j z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` c ) z ) f ) e. ( x j z ) ) <-> ( ( .1. ` x ) e. ( x J x ) /\ A. y e. S A. z e. S A. f e. ( x J y ) A. g e. ( y J z ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x J z ) ) ) )
6239, 61raleqbidv 3152 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) /\ c = C ) /\ j = J ) /\ s = S ) -> ( A. x e. s ( ( ( Id ` c ) ` x ) e. ( x j x ) /\ A. y e. s A. z e. s A. f e. ( x j y ) A. g e. ( y j z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` c ) z ) f ) e. ( x j z ) ) <-> A. x e. S ( ( .1. ` x ) e. ( x J x ) /\ A. y e. S A. z e. S A. f e. ( x J y ) A. g e. ( y J z ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x J z ) ) ) )
6334, 38, 62sbcied2 3473 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) /\ c = C ) /\ j = J ) -> ( [. dom dom j / s ]. A. x e. s ( ( ( Id ` c ) ` x ) e. ( x j x ) /\ A. y e. s A. z e. s A. f e. ( x j y ) A. g e. ( y j z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` c ) z ) f ) e. ( x j z ) ) <-> A. x e. S ( ( .1. ` x ) e. ( x J x ) /\ A. y e. S A. z e. S A. f e. ( x J y ) A. g e. ( y J z ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x J z ) ) ) )
6430, 63anbi12d 747 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) /\ c = C ) /\ j = J ) -> ( ( j C_cat ( Hom f ` c ) /\ [. dom dom j / s ]. A. x e. s ( ( ( Id ` c ) ` x ) e. ( x j x ) /\ A. y e. s A. z e. s A. f e. ( x j y ) A. g e. ( y j z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` c ) z ) f ) e. ( x j z ) ) ) <-> ( J C_cat H /\ A. x e. S ( ( .1. ` x ) e. ( x J x ) /\ A. y e. S A. z e. S A. f e. ( x J y ) A. g e. ( y J z ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x J z ) ) ) ) )
6564adantlr 751 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) /\ c = C ) /\ J e. _V ) /\ j = J ) -> ( ( j C_cat ( Hom f ` c ) /\ [. dom dom j / s ]. A. x e. s ( ( ( Id ` c ) ` x ) e. ( x j x ) /\ A. y e. s A. z e. s A. f e. ( x j y ) A. g e. ( y j z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` c ) z ) f ) e. ( x j z ) ) ) <-> ( J C_cat H /\ A. x e. S ( ( .1. ` x ) e. ( x J x ) /\ A. y e. S A. z e. S A. f e. ( x J y ) A. g e. ( y J z ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x J z ) ) ) ) )
6623, 65sbcied 3472 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) /\ c = C ) /\ J e. _V ) -> ( [. J / j ]. ( j C_cat ( Hom f ` c ) /\ [. dom dom j / s ]. A. x e. s ( ( ( Id ` c ) ` x ) e. ( x j x ) /\ A. y e. s A. z e. s A. f e. ( x j y ) A. g e. ( y j z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` c ) z ) f ) e. ( x j z ) ) ) <-> ( J C_cat H /\ A. x e. S ( ( .1. ` x ) e. ( x J x ) /\ A. y e. S A. z e. S A. f e. ( x J y ) A. g e. ( y J z ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x J z ) ) ) ) )
6722, 66syl5bbr 274 . . . . . 6 |- ( ( ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) /\ c = C ) /\ J e. _V ) -> ( J e. { j | ( j C_cat ( Hom f ` c ) /\ [. dom dom j / s ]. A. x e. s ( ( ( Id ` c ) ` x ) e. ( x j x ) /\ A. y e. s A. z e. s A. f e. ( x j y ) A. g e. ( y j z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` c ) z ) f ) e. ( x j z ) ) ) } <-> ( J C_cat H /\ A. x e. S ( ( .1. ` x ) e. ( x J x ) /\ A. y e. S A. z e. S A. f e. ( x J y ) A. g e. ( y J z ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x J z ) ) ) ) )
6867ex 450 . . . . 5 |- ( ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) /\ c = C ) -> ( J e. _V -> ( J e. { j | ( j C_cat ( Hom f ` c ) /\ [. dom dom j / s ]. A. x e. s ( ( ( Id ` c ) ` x ) e. ( x j x ) /\ A. y e. s A. z e. s A. f e. ( x j y ) A. g e. ( y j z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` c ) z ) f ) e. ( x j z ) ) ) } <-> ( J C_cat H /\ A. x e. S ( ( .1. ` x ) e. ( x J x ) /\ A. y e. S A. z e. S A. f e. ( x J y ) A. g e. ( y J z ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x J z ) ) ) ) ) )
6917, 21, 68pm5.21ndd 369 . . . 4 |- ( ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) /\ c = C ) -> ( J e. { j | ( j C_cat ( Hom f ` c ) /\ [. dom dom j / s ]. A. x e. s ( ( ( Id ` c ) ` x ) e. ( x j x ) /\ A. y e. s A. z e. s A. f e. ( x j y ) A. g e. ( y j z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` c ) z ) f ) e. ( x j z ) ) ) } <-> ( J C_cat H /\ A. x e. S ( ( .1. ` x ) e. ( x J x ) /\ A. y e. S A. z e. S A. f e. ( x J y ) A. g e. ( y J z ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x J z ) ) ) ) )
703, 69sbcied 3472 . . 3 |- ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) -> ( [. C / c ]. J e. { j | ( j C_cat ( Hom f ` c ) /\ [. dom dom j / s ]. A. x e. s ( ( ( Id ` c ) ` x ) e. ( x j x ) /\ A. y e. s A. z e. s A. f e. ( x j y ) A. g e. ( y j z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` c ) z ) f ) e. ( x j z ) ) ) } <-> ( J C_cat H /\ A. x e. S ( ( .1. ` x ) e. ( x J x ) /\ A. y e. S A. z e. S A. f e. ( x J y ) A. g e. ( y J z ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x J z ) ) ) ) )
7113, 15, 703bitr2d 296 . 2 |- ( ( C e. Cat /\ S = dom dom J ) -> ( J e. (Subcat ` C ) <-> ( J C_cat H /\ A. x e. S ( ( .1. ` x ) e. ( x J x ) /\ A. y e. S A. z e. S A. f e. ( x J y ) A. g e. ( y J z ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x J z ) ) ) ) )
721, 2, 71syl2anc 693 1 |- ( ph -> ( J e. (Subcat ` C ) <-> ( J C_cat H /\ A. x e. S ( ( .1. ` x ) e. ( x J x ) /\ A. y e. S A. z e. S A. f e. ( x J y ) A. g e. ( y J z ) ( g ( <. x , y >. .x. z ) f ) e. ( x J z ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   [_csb 3533   <.cop 4183   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  compcco 15953   Catccat 16325   Idccid 16326   Hom f chomf 16327   C_cat cssc 16467  Subcatcsubc 16469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-ssc 16470  df-subc 16472
This theorem is referenced by:  issubc2  16496  subcssc  16500
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