Theorem iuneqfzuzlem 39550

Description: Lemma for iuneqfzuz 39551: here, inclusion is proven; aiuneqfzuz uses this lemma twice, to prove equality. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
iuneqfzuzlem.z	|- Z = ( ZZ>= ` N )

Assertion

Ref	Expression
iuneqfzuzlem	|- ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B -> U_ n e. Z A C_ U_ n e. Z B )

Distinct variable groups:   A, m   B, m   n, N   m, Z, n

Allowed substitution hints:   A( n)   B( n)   N( m)

Proof of Theorem iuneqfzuzlem

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ m A
2		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . 9 |- F/_ n [_ m / n ]_ A
3		csbeq1a 3542	. . . . . . . . 9 |- ( n = m -> A = [_ m / n ]_ A )
4	1, 2, 3	cbviun 4557	. . . . . . . 8 |- U_ n e. Z A = U_ m e. Z [_ m / n ]_ A
5	4	eleq2i 2693	. . . . . . 7 |- ( x e. U_ n e. Z A <-> x e. U_ m e. Z [_ m / n ]_ A )
6		eliun 4524	. . . . . . 7 |- ( x e. U_ m e. Z [_ m / n ]_ A <-> E. m e. Z x e. [_ m / n ]_ A )
7	5, 6	bitri 264	. . . . . 6 |- ( x e. U_ n e. Z A <-> E. m e. Z x e. [_ m / n ]_ A )
8	7	biimpi 206	. . . . 5 |- ( x e. U_ n e. Z A -> E. m e. Z x e. [_ m / n ]_ A )
9	8	adantl 482	. . . 4 |- ( ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B /\ x e. U_ n e. Z A ) -> E. m e. Z x e. [_ m / n ]_ A )
10		nfra1 2941	. . . . . 6 |- F/ m A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B
11		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ m x e. U_ n e. Z B
12		simp2 1062	. . . . . . . 8 |- ( ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B /\ m e. Z /\ x e. [_ m / n ]_ A ) -> m e. Z )
13		rspa 2930	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B /\ m e. Z ) -> U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B )
14	13	3adant3 1081	. . . . . . . 8 |- ( ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B /\ m e. Z /\ x e. [_ m / n ]_ A ) -> U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B )
15		simp3 1063	. . . . . . . 8 |- ( ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B /\ m e. Z /\ x e. [_ m / n ]_ A ) -> x e. [_ m / n ]_ A )
16		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B -> U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B )
17		fzssuz 12382	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N ... m ) C_ ( ZZ>= ` N )
18		iuneqfzuzlem.z	. . . . . . . . . . . . . 14 |- Z = ( ZZ>= ` N )
19	18	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ZZ>= ` N ) = Z
20	17, 19	sseqtri 3637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N ... m ) C_ Z
21		iunss1 4532	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N ... m ) C_ Z -> U_ n e. ( N ... m ) B C_ U_ n e. Z B )
22	20, 21	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B -> U_ n e. ( N ... m ) B C_ U_ n e. Z B )
23	16, 22	eqsstrd 3639	. . . . . . . . . 10 |- ( U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B -> U_ n e. ( N ... m ) A C_ U_ n e. Z B )
24	23	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. Z /\ U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B /\ x e. [_ m / n ]_ A ) -> U_ n e. ( N ... m ) A C_ U_ n e. Z B )
25	18	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. Z <-> m e. ( ZZ>= ` N ) )
26	25	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. Z -> m e. ( ZZ>= ` N ) )
27		eluzel2 11692	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ( ZZ>= ` N ) -> N e. ZZ )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. Z -> N e. ZZ )
29		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. ( ZZ>= ` N ) -> m e. ZZ )
30	26, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. Z -> m e. ZZ )
31	28, 30, 30	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. Z -> ( N e. ZZ /\ m e. ZZ /\ m e. ZZ ) )
32		eluzle 11700	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. ( ZZ>= ` N ) -> N <_ m )
33	26, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. Z -> N <_ m )
34	30	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. Z -> m e. RR )
35		leid 10133	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. RR -> m <_ m )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. Z -> m <_ m )
37	31, 33, 36	jca32 558	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. Z -> ( ( N e. ZZ /\ m e. ZZ /\ m e. ZZ ) /\ ( N <_ m /\ m <_ m ) ) )
38		elfz2 12333	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. ( N ... m ) <-> ( ( N e. ZZ /\ m e. ZZ /\ m e. ZZ ) /\ ( N <_ m /\ m <_ m ) ) )
39	37, 38	sylibr 224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. Z -> m e. ( N ... m ) )
40		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ n x
41	40, 2	nfel 2777	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ n x e. [_ m / n ]_ A
42	3	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = m -> ( x e. A <-> x e. [_ m / n ]_ A ) )
43	41, 42	rspce 3304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. ( N ... m ) /\ x e. [_ m / n ]_ A ) -> E. n e. ( N ... m ) x e. A )
44	39, 43	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. Z /\ x e. [_ m / n ]_ A ) -> E. n e. ( N ... m ) x e. A )
45		eliun 4524	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. U_ n e. ( N ... m ) A <-> E. n e. ( N ... m ) x e. A )
46	44, 45	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. Z /\ x e. [_ m / n ]_ A ) -> x e. U_ n e. ( N ... m ) A )
47	46	3adant2 1080	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. Z /\ U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B /\ x e. [_ m / n ]_ A ) -> x e. U_ n e. ( N ... m ) A )
48	24, 47	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. Z /\ U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B /\ x e. [_ m / n ]_ A ) -> x e. U_ n e. Z B )
49	12, 14, 15, 48	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B /\ m e. Z /\ x e. [_ m / n ]_ A ) -> x e. U_ n e. Z B )
50	49	3exp 1264	. . . . . 6 |- ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B -> ( m e. Z -> ( x e. [_ m / n ]_ A -> x e. U_ n e. Z B ) ) )
51	10, 11, 50	rexlimd 3026	. . . . 5 |- ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B -> ( E. m e. Z x e. [_ m / n ]_ A -> x e. U_ n e. Z B ) )
52	51	adantr 481	. . . 4 |- ( ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B /\ x e. U_ n e. Z A ) -> ( E. m e. Z x e. [_ m / n ]_ A -> x e. U_ n e. Z B ) )
53	9, 52	mpd 15	. . 3 |- ( ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B /\ x e. U_ n e. Z A ) -> x e. U_ n e. Z B )
54	53	ralrimiva 2966	. 2 |- ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B -> A. x e. U_ n e. Z A x e. U_ n e. Z B )
55		dfss3 3592	. 2 |- ( U_ n e. Z A C_ U_ n e. Z B <-> A. x e. U_ n e. Z A x e. U_ n e. Z B )
56	54, 55	sylibr 224	1 |- ( A. m e. Z U_ n e. ( N ... m ) A = U_ n e. ( N ... m ) B -> U_ n e. Z A C_ U_ n e. Z B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   [_csb 3533   C_ wss 3574   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327

This theorem is referenced by:  iuneqfzuz  39551