Theorem kqhmph 21622

Description: A topological space is T₀ iff it is homeomorphic to its Kolmogorov quotient. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kqhmph	|- ( J e. Kol2 <-> J ~= (KQ ` J ) )

Proof of Theorem kqhmph

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		t0top 21133	. . . . . 6 |- ( J e. Kol2 -> J e. Top )
2		eqid 2622	. . . . . . 7 |- U. J = U. J
3	2	toptopon 20722	. . . . . 6 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
4	1, 3	sylib 208	. . . . 5 |- ( J e. Kol2 -> J e. (TopOn ` U. J ) )
5		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( x e. U. J |-> { y e. J | x e. y } ) = ( x e. U. J |-> { y e. J | x e. y } )
6	5	t0kq 21621	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` U. J ) -> ( J e. Kol2 <-> ( x e. U. J |-> { y e. J | x e. y } ) e. ( J Homeo (KQ ` J ) ) ) )
7	4, 6	syl 17	. . . 4 |- ( J e. Kol2 -> ( J e. Kol2 <-> ( x e. U. J |-> { y e. J | x e. y } ) e. ( J Homeo (KQ ` J ) ) ) )
8	7	ibi 256	. . 3 |- ( J e. Kol2 -> ( x e. U. J |-> { y e. J | x e. y } ) e. ( J Homeo (KQ ` J ) ) )
9		hmphi 21580	. . 3 |- ( ( x e. U. J |-> { y e. J | x e. y } ) e. ( J Homeo (KQ ` J ) ) -> J ~= (KQ ` J ) )
10	8, 9	syl 17	. 2 |- ( J e. Kol2 -> J ~= (KQ ` J ) )
11		hmphsym 21585	. . 3 |- ( J ~= (KQ ` J ) -> (KQ ` J ) ~= J )
12		hmphtop1 21582	. . . 4 |- ( J ~= (KQ ` J ) -> J e. Top )
13		kqt0 21549	. . . 4 |- ( J e. Top <-> (KQ ` J ) e. Kol2 )
14	12, 13	sylib 208	. . 3 |- ( J ~= (KQ ` J ) -> (KQ ` J ) e. Kol2 )
15		t0hmph 21593	. . 3 |- ( (KQ ` J ) ~= J -> ( (KQ ` J ) e. Kol2 -> J e. Kol2 ) )
16	11, 14, 15	sylc 65	. 2 |- ( J ~= (KQ ` J ) -> J e. Kol2 )
17	10, 16	impbii 199	1 |- ( J e. Kol2 <-> J ~= (KQ ` J ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   e. wcel 1990   {crab 2916   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Kol2ct0 21110  KQckq 21496   Homeochmeo 21556   ~= chmph 21557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-1o 7560  df-map 7859  df-qtop 16167  df-top 20699  df-topon 20716  df-cn 21031  df-t0 21117  df-kq 21497  df-hmeo 21558  df-hmph 21559

This theorem is referenced by:  ist1-5lem  21623  t1r0  21624