Theorem txlly 21439

Description: If the property A is preserved under topological products, then so is the property of being locally A. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
txlly.1	|- ( ( j e. A /\ k e. A ) -> ( j tX k ) e. A )

Assertion

Ref	Expression
txlly	|- ( ( R e. Locally A /\ S e. Locally A ) -> ( R tX S ) e. Locally A )

Distinct variable groups:   j, k, A   R, j, k   S, k

Allowed substitution hint:   S( j)

Proof of Theorem txlly

Dummy variables r s u v x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		llytop 21275	. . 3 |- ( R e. Locally A -> R e. Top )
2		llytop 21275	. . 3 |- ( S e. Locally A -> S e. Top )
3		txtop 21372	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R tX S ) e. Top )
4	1, 2, 3	syl2an 494	. 2 |- ( ( R e. Locally A /\ S e. Locally A ) -> ( R tX S ) e. Top )
5		eltx 21371	. . . 4 |- ( ( R e. Locally A /\ S e. Locally A ) -> ( x e. ( R tX S ) <-> A. y e. x E. u e. R E. v e. S ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) )
6		simpll 790	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Locally A /\ S e. Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) -> R e. Locally A )
7		simprll 802	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Locally A /\ S e. Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) -> u e. R )
8		simprrl 804	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Locally A /\ S e. Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) -> y e. ( u X. v ) )
9		xp1st 7198	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( u X. v ) -> ( 1st ` y ) e. u )
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Locally A /\ S e. Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) -> ( 1st ` y ) e. u )
11		llyi 21277	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Locally A /\ u e. R /\ ( 1st ` y ) e. u ) -> E. r e. R ( r C_ u /\ ( 1st ` y ) e. r /\ ( R ↾t r ) e. A ) )
12	6, 7, 10, 11	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Locally A /\ S e. Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) -> E. r e. R ( r C_ u /\ ( 1st ` y ) e. r /\ ( R ↾t r ) e. A ) )
13		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Locally A /\ S e. Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) -> S e. Locally A )
14		simprlr 803	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Locally A /\ S e. Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) -> v e. S )
15		xp2nd 7199	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( u X. v ) -> ( 2nd ` y ) e. v )
16	8, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Locally A /\ S e. Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) -> ( 2nd ` y ) e. v )
17		llyi 21277	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. Locally A /\ v e. S /\ ( 2nd ` y ) e. v ) -> E. s e. S ( s C_ v /\ ( 2nd ` y ) e. s /\ ( S ↾t s ) e. A ) )
18	13, 14, 16, 17	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Locally A /\ S e. Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) -> E. s e. S ( s C_ v /\ ( 2nd ` y ) e. s /\ ( S ↾t s ) e. A ) )
19		reeanv 3107	. . . . . . . . 9 |- ( E. r e. R E. s e. S ( ( r C_ u /\ ( 1st ` y ) e. r /\ ( R ↾t r ) e. A ) /\ ( s C_ v /\ ( 2nd ` y ) e. s /\ ( S ↾t s ) e. A ) ) <-> ( E. r e. R ( r C_ u /\ ( 1st ` y ) e. r /\ ( R ↾t r ) e. A ) /\ E. s e. S ( s C_ v /\ ( 2nd ` y ) e. s /\ ( S ↾t s ) e. A ) ) )
20	1	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. Locally A /\ S e. Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( r e. R /\ s e. S ) /\ ( ( r C_ u /\ ( 1st ` y ) e. r /\ ( R ↾t r ) e. A ) /\ ( s C_ v /\ ( 2nd ` y ) e. s /\ ( S ↾t s ) e. A ) ) ) ) -> R e. Top )
21	2	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. Locally A /\ S e. Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( r e. R /\ s e. S ) /\ ( ( r C_ u /\ ( 1st ` y ) e. r /\ ( R ↾t r ) e. A ) /\ ( s C_ v /\ ( 2nd ` y ) e. s /\ ( S ↾t s ) e. A ) ) ) ) -> S e. Top )
22		simprll 802	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. Locally A /\ S e. Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( r e. R /\ s e. S ) /\ ( ( r C_ u /\ ( 1st ` y ) e. r /\ ( R ↾t r ) e. A ) /\ ( s C_ v /\ ( 2nd ` y ) e. s /\ ( S ↾t s ) e. A ) ) ) ) -> r e. R )
23		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. Locally A /\ S e. Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( r e. R /\ s e. S ) /\ ( ( r C_ u /\ ( 1st ` y ) e. r /\ ( R ↾t r ) e. A ) /\ ( s C_ v /\ ( 2nd ` y ) e. s /\ ( S ↾t s ) e. A ) ) ) ) -> s e. S )
24		txopn 21405	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( r X. s ) e. ( R tX S ) )
25	20, 21, 22, 23, 24	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Locally A /\ S e. Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( r e. R /\ s e. S ) /\ ( ( r C_ u /\ ( 1st ` y ) e. r /\ ( R ↾t r ) e. A ) /\ ( s C_ v /\ ( 2nd ` y ) e. s /\ ( S ↾t s ) e. A ) ) ) ) -> ( r X. s ) e. ( R tX S ) )
26		simprl1 1106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( r e. R /\ s e. S ) /\ ( ( r C_ u /\ ( 1st ` y ) e. r /\ ( R ↾t r ) e. A ) /\ ( s C_ v /\ ( 2nd ` y ) e. s /\ ( S ↾t s ) e. A ) ) ) -> r C_ u )
27		simprr1 1109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( r e. R /\ s e. S ) /\ ( ( r C_ u /\ ( 1st ` y ) e. r /\ ( R ↾t r ) e. A ) /\ ( s C_ v /\ ( 2nd ` y ) e. s /\ ( S ↾t s ) e. A ) ) ) -> s C_ v )
28		xpss12 5225	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( r C_ u /\ s C_ v ) -> ( r X. s ) C_ ( u X. v ) )
29	26, 27, 28	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( r e. R /\ s e. S ) /\ ( ( r C_ u /\ ( 1st ` y ) e. r /\ ( R ↾t r ) e. A ) /\ ( s C_ v /\ ( 2nd ` y ) e. s /\ ( S ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( r X. s ) C_ ( u X. v ) )
30		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Locally A /\ S e. Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) -> ( u X. v ) C_ x )
31	29, 30	sylan9ssr 3617	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. Locally A /\ S e. Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( r e. R /\ s e. S ) /\ ( ( r C_ u /\ ( 1st ` y ) e. r /\ ( R ↾t r ) e. A ) /\ ( s C_ v /\ ( 2nd ` y ) e. s /\ ( S ↾t s ) e. A ) ) ) ) -> ( r X. s ) C_ x )
32		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- x e. _V
33	32	elpw2 4828	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( r X. s ) e. ~P x <-> ( r X. s ) C_ x )
34	31, 33	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Locally A /\ S e. Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( r e. R /\ s e. S ) /\ ( ( r C_ u /\ ( 1st ` y ) e. r /\ ( R ↾t r ) e. A ) /\ ( s C_ v /\ ( 2nd ` y ) e. s /\ ( S ↾t s ) e. A ) ) ) ) -> ( r X. s ) e. ~P x )
35	25, 34	elind 3798	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Locally A /\ S e. Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( r e. R /\ s e. S ) /\ ( ( r C_ u /\ ( 1st ` y ) e. r /\ ( R ↾t r ) e. A ) /\ ( s C_ v /\ ( 2nd ` y ) e. s /\ ( S ↾t s ) e. A ) ) ) ) -> ( r X. s ) e. ( ( R tX S ) i^i ~P x ) )
36		1st2nd2 7205	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( u X. v ) -> y = <. ( 1st ` y ) , ( 2nd ` y ) >. )
37	8, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Locally A /\ S e. Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) -> y = <. ( 1st ` y ) , ( 2nd ` y ) >. )
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Locally A /\ S e. Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( r e. R /\ s e. S ) /\ ( ( r C_ u /\ ( 1st ` y ) e. r /\ ( R ↾t r ) e. A ) /\ ( s C_ v /\ ( 2nd ` y ) e. s /\ ( S ↾t s ) e. A ) ) ) ) -> y = <. ( 1st ` y ) , ( 2nd ` y ) >. )
39		simprl2 1107	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( r e. R /\ s e. S ) /\ ( ( r C_ u /\ ( 1st ` y ) e. r /\ ( R ↾t r ) e. A ) /\ ( s C_ v /\ ( 2nd ` y ) e. s /\ ( S ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( 1st ` y ) e. r )
40		simprr2 1110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( r e. R /\ s e. S ) /\ ( ( r C_ u /\ ( 1st ` y ) e. r /\ ( R ↾t r ) e. A ) /\ ( s C_ v /\ ( 2nd ` y ) e. s /\ ( S ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( 2nd ` y ) e. s )
41		opelxpi 5148	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 1st ` y ) e. r /\ ( 2nd ` y ) e. s ) -> <. ( 1st ` y ) , ( 2nd ` y ) >. e. ( r X. s ) )
42	39, 40, 41	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( r e. R /\ s e. S ) /\ ( ( r C_ u /\ ( 1st ` y ) e. r /\ ( R ↾t r ) e. A ) /\ ( s C_ v /\ ( 2nd ` y ) e. s /\ ( S ↾t s ) e. A ) ) ) -> <. ( 1st ` y ) , ( 2nd ` y ) >. e. ( r X. s ) )
43	42	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Locally A /\ S e. Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( r e. R /\ s e. S ) /\ ( ( r C_ u /\ ( 1st ` y ) e. r /\ ( R ↾t r ) e. A ) /\ ( s C_ v /\ ( 2nd ` y ) e. s /\ ( S ↾t s ) e. A ) ) ) ) -> <. ( 1st ` y ) , ( 2nd ` y ) >. e. ( r X. s ) )
44	38, 43	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Locally A /\ S e. Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( r e. R /\ s e. S ) /\ ( ( r C_ u /\ ( 1st ` y ) e. r /\ ( R ↾t r ) e. A ) /\ ( s C_ v /\ ( 2nd ` y ) e. s /\ ( S ↾t s ) e. A ) ) ) ) -> y e. ( r X. s ) )
45		txrest 21434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( ( R tX S ) ↾t ( r X. s ) ) = ( ( R ↾t r ) tX ( S ↾t s ) ) )
46	20, 21, 22, 23, 45	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Locally A /\ S e. Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( r e. R /\ s e. S ) /\ ( ( r C_ u /\ ( 1st ` y ) e. r /\ ( R ↾t r ) e. A ) /\ ( s C_ v /\ ( 2nd ` y ) e. s /\ ( S ↾t s ) e. A ) ) ) ) -> ( ( R tX S ) ↾t ( r X. s ) ) = ( ( R ↾t r ) tX ( S ↾t s ) ) )
47		simprl3 1108	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( r e. R /\ s e. S ) /\ ( ( r C_ u /\ ( 1st ` y ) e. r /\ ( R ↾t r ) e. A ) /\ ( s C_ v /\ ( 2nd ` y ) e. s /\ ( S ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( R ↾t r ) e. A )
48		simprr3 1111	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( r e. R /\ s e. S ) /\ ( ( r C_ u /\ ( 1st ` y ) e. r /\ ( R ↾t r ) e. A ) /\ ( s C_ v /\ ( 2nd ` y ) e. s /\ ( S ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( S ↾t s ) e. A )
49		txlly.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j e. A /\ k e. A ) -> ( j tX k ) e. A )
50	49	caovcl 6828	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R ↾t r ) e. A /\ ( S ↾t s ) e. A ) -> ( ( R ↾t r ) tX ( S ↾t s ) ) e. A )
51	47, 48, 50	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( r e. R /\ s e. S ) /\ ( ( r C_ u /\ ( 1st ` y ) e. r /\ ( R ↾t r ) e. A ) /\ ( s C_ v /\ ( 2nd ` y ) e. s /\ ( S ↾t s ) e. A ) ) ) -> ( ( R ↾t r ) tX ( S ↾t s ) ) e. A )
52	51	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Locally A /\ S e. Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( r e. R /\ s e. S ) /\ ( ( r C_ u /\ ( 1st ` y ) e. r /\ ( R ↾t r ) e. A ) /\ ( s C_ v /\ ( 2nd ` y ) e. s /\ ( S ↾t s ) e. A ) ) ) ) -> ( ( R ↾t r ) tX ( S ↾t s ) ) e. A )
53	46, 52	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Locally A /\ S e. Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( r e. R /\ s e. S ) /\ ( ( r C_ u /\ ( 1st ` y ) e. r /\ ( R ↾t r ) e. A ) /\ ( s C_ v /\ ( 2nd ` y ) e. s /\ ( S ↾t s ) e. A ) ) ) ) -> ( ( R tX S ) ↾t ( r X. s ) ) e. A )
54		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( r X. s ) -> ( y e. z <-> y e. ( r X. s ) ) )
55		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( r X. s ) -> ( ( R tX S ) ↾t z ) = ( ( R tX S ) ↾t ( r X. s ) ) )
56	55	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( r X. s ) -> ( ( ( R tX S ) ↾t z ) e. A <-> ( ( R tX S ) ↾t ( r X. s ) ) e. A ) )
57	54, 56	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( r X. s ) -> ( ( y e. z /\ ( ( R tX S ) ↾t z ) e. A ) <-> ( y e. ( r X. s ) /\ ( ( R tX S ) ↾t ( r X. s ) ) e. A ) ) )
58	57	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( r X. s ) e. ( ( R tX S ) i^i ~P x ) /\ ( y e. ( r X. s ) /\ ( ( R tX S ) ↾t ( r X. s ) ) e. A ) ) -> E. z e. ( ( R tX S ) i^i ~P x ) ( y e. z /\ ( ( R tX S ) ↾t z ) e. A ) )
59	35, 44, 53, 58	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Locally A /\ S e. Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( ( r e. R /\ s e. S ) /\ ( ( r C_ u /\ ( 1st ` y ) e. r /\ ( R ↾t r ) e. A ) /\ ( s C_ v /\ ( 2nd ` y ) e. s /\ ( S ↾t s ) e. A ) ) ) ) -> E. z e. ( ( R tX S ) i^i ~P x ) ( y e. z /\ ( ( R tX S ) ↾t z ) e. A ) )
60	59	expr 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Locally A /\ S e. Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) /\ ( r e. R /\ s e. S ) ) -> ( ( ( r C_ u /\ ( 1st ` y ) e. r /\ ( R ↾t r ) e. A ) /\ ( s C_ v /\ ( 2nd ` y ) e. s /\ ( S ↾t s ) e. A ) ) -> E. z e. ( ( R tX S ) i^i ~P x ) ( y e. z /\ ( ( R tX S ) ↾t z ) e. A ) ) )
61	60	rexlimdvva 3038	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Locally A /\ S e. Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) -> ( E. r e. R E. s e. S ( ( r C_ u /\ ( 1st ` y ) e. r /\ ( R ↾t r ) e. A ) /\ ( s C_ v /\ ( 2nd ` y ) e. s /\ ( S ↾t s ) e. A ) ) -> E. z e. ( ( R tX S ) i^i ~P x ) ( y e. z /\ ( ( R tX S ) ↾t z ) e. A ) ) )
62	19, 61	syl5bir 233	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Locally A /\ S e. Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) -> ( ( E. r e. R ( r C_ u /\ ( 1st ` y ) e. r /\ ( R ↾t r ) e. A ) /\ E. s e. S ( s C_ v /\ ( 2nd ` y ) e. s /\ ( S ↾t s ) e. A ) ) -> E. z e. ( ( R tX S ) i^i ~P x ) ( y e. z /\ ( ( R tX S ) ↾t z ) e. A ) ) )
63	12, 18, 62	mp2and 715	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Locally A /\ S e. Locally A ) /\ ( ( u e. R /\ v e. S ) /\ ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) ) ) -> E. z e. ( ( R tX S ) i^i ~P x ) ( y e. z /\ ( ( R tX S ) ↾t z ) e. A ) )
64	63	expr 643	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Locally A /\ S e. Locally A ) /\ ( u e. R /\ v e. S ) ) -> ( ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) -> E. z e. ( ( R tX S ) i^i ~P x ) ( y e. z /\ ( ( R tX S ) ↾t z ) e. A ) ) )
65	64	rexlimdvva 3038	. . . . 5 |- ( ( R e. Locally A /\ S e. Locally A ) -> ( E. u e. R E. v e. S ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) -> E. z e. ( ( R tX S ) i^i ~P x ) ( y e. z /\ ( ( R tX S ) ↾t z ) e. A ) ) )
66	65	ralimdv 2963	. . . 4 |- ( ( R e. Locally A /\ S e. Locally A ) -> ( A. y e. x E. u e. R E. v e. S ( y e. ( u X. v ) /\ ( u X. v ) C_ x ) -> A. y e. x E. z e. ( ( R tX S ) i^i ~P x ) ( y e. z /\ ( ( R tX S ) ↾t z ) e. A ) ) )
67	5, 66	sylbid 230	. . 3 |- ( ( R e. Locally A /\ S e. Locally A ) -> ( x e. ( R tX S ) -> A. y e. x E. z e. ( ( R tX S ) i^i ~P x ) ( y e. z /\ ( ( R tX S ) ↾t z ) e. A ) ) )
68	67	ralrimiv 2965	. 2 |- ( ( R e. Locally A /\ S e. Locally A ) -> A. x e. ( R tX S ) A. y e. x E. z e. ( ( R tX S ) i^i ~P x ) ( y e. z /\ ( ( R tX S ) ↾t z ) e. A ) )
69		islly 21271	. 2 |- ( ( R tX S ) e. Locally A <-> ( ( R tX S ) e. Top /\ A. x e. ( R tX S ) A. y e. x E. z e. ( ( R tX S ) i^i ~P x ) ( y e. z /\ ( ( R tX S ) ↾t z ) e. A ) ) )
70	4, 68, 69	sylanbrc 698	1 |- ( ( R e. Locally A /\ S e. Locally A ) -> ( R tX S ) e. Locally A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   <.cop 4183   X. cxp 5112   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   ↾_t crest 16081   Topctop 20698  Locally clly 21267   tX ctx 21363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-bases 20750  df-lly 21269  df-tx 21365

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