Theorem dislly 21300

Description: The discrete space ~P X is locally A if and only if every singleton space has property A. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dislly	|- ( X e. V -> ( ~P X e. Locally A <-> A. x e. X ~P { x } e. A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, V   x, X

Proof of Theorem dislly

Dummy variables u y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 792	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ ~P X e. Locally A ) /\ x e. X ) -> ~P X e. Locally A )
2		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. V /\ ~P X e. Locally A ) /\ x e. X ) -> x e. X )
3		vex 3203	. . . . . . 7 |- x e. _V
4	3	snelpw 4913	. . . . . 6 |- ( x e. X <-> { x } e. ~P X )
5	2, 4	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ ~P X e. Locally A ) /\ x e. X ) -> { x } e. ~P X )
6		vsnid 4209	. . . . . 6 |- x e. { x }
7	6	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ ~P X e. Locally A ) /\ x e. X ) -> x e. { x } )
8		llyi 21277	. . . . 5 |- ( ( ~P X e. Locally A /\ { x } e. ~P X /\ x e. { x } ) -> E. y e. ~P X ( y C_ { x } /\ x e. y /\ ( ~P X ↾t y ) e. A ) )
9	1, 5, 7, 8	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ ~P X e. Locally A ) /\ x e. X ) -> E. y e. ~P X ( y C_ { x } /\ x e. y /\ ( ~P X ↾t y ) e. A ) )
10		simpr1 1067	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( X e. V /\ ~P X e. Locally A ) /\ x e. X ) /\ ( y C_ { x } /\ x e. y /\ ( ~P X ↾t y ) e. A ) ) -> y C_ { x } )
11		simpr2 1068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( X e. V /\ ~P X e. Locally A ) /\ x e. X ) /\ ( y C_ { x } /\ x e. y /\ ( ~P X ↾t y ) e. A ) ) -> x e. y )
12	11	snssd 4340	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( X e. V /\ ~P X e. Locally A ) /\ x e. X ) /\ ( y C_ { x } /\ x e. y /\ ( ~P X ↾t y ) e. A ) ) -> { x } C_ y )
13	10, 12	eqssd 3620	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( X e. V /\ ~P X e. Locally A ) /\ x e. X ) /\ ( y C_ { x } /\ x e. y /\ ( ~P X ↾t y ) e. A ) ) -> y = { x } )
14	13	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( X e. V /\ ~P X e. Locally A ) /\ x e. X ) /\ ( y C_ { x } /\ x e. y /\ ( ~P X ↾t y ) e. A ) ) -> ( ~P X ↾t y ) = ( ~P X ↾t { x } ) )
15		simplll 798	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( X e. V /\ ~P X e. Locally A ) /\ x e. X ) /\ ( y C_ { x } /\ x e. y /\ ( ~P X ↾t y ) e. A ) ) -> X e. V )
16		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( X e. V /\ ~P X e. Locally A ) /\ x e. X ) /\ ( y C_ { x } /\ x e. y /\ ( ~P X ↾t y ) e. A ) ) -> x e. X )
17	16	snssd 4340	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( X e. V /\ ~P X e. Locally A ) /\ x e. X ) /\ ( y C_ { x } /\ x e. y /\ ( ~P X ↾t y ) e. A ) ) -> { x } C_ X )
18		restdis 20982	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. V /\ { x } C_ X ) -> ( ~P X ↾t { x } ) = ~P { x } )
19	15, 17, 18	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( X e. V /\ ~P X e. Locally A ) /\ x e. X ) /\ ( y C_ { x } /\ x e. y /\ ( ~P X ↾t y ) e. A ) ) -> ( ~P X ↾t { x } ) = ~P { x } )
20	14, 19	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. V /\ ~P X e. Locally A ) /\ x e. X ) /\ ( y C_ { x } /\ x e. y /\ ( ~P X ↾t y ) e. A ) ) -> ( ~P X ↾t y ) = ~P { x } )
21		simpr3 1069	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. V /\ ~P X e. Locally A ) /\ x e. X ) /\ ( y C_ { x } /\ x e. y /\ ( ~P X ↾t y ) e. A ) ) -> ( ~P X ↾t y ) e. A )
22	20, 21	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 |- ( ( ( ( X e. V /\ ~P X e. Locally A ) /\ x e. X ) /\ ( y C_ { x } /\ x e. y /\ ( ~P X ↾t y ) e. A ) ) -> ~P { x } e. A )
23	22	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ ~P X e. Locally A ) /\ x e. X ) -> ( ( y C_ { x } /\ x e. y /\ ( ~P X ↾t y ) e. A ) -> ~P { x } e. A ) )
24	23	rexlimdvw 3034	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ ~P X e. Locally A ) /\ x e. X ) -> ( E. y e. ~P X ( y C_ { x } /\ x e. y /\ ( ~P X ↾t y ) e. A ) -> ~P { x } e. A ) )
25	9, 24	mpd 15	. . 3 |- ( ( ( X e. V /\ ~P X e. Locally A ) /\ x e. X ) -> ~P { x } e. A )
26	25	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ( X e. V /\ ~P X e. Locally A ) -> A. x e. X ~P { x } e. A )
27		distop 20799	. . . 4 |- ( X e. V -> ~P X e. Top )
28	27	adantr 481	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A. x e. X ~P { x } e. A ) -> ~P X e. Top )
29		elpwi 4168	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ~P X -> y C_ X )
30	29	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. V /\ y e. ~P X ) -> y C_ X )
31		ssralv 3666	. . . . . . . 8 |- ( y C_ X -> ( A. x e. X ~P { x } e. A -> A. x e. y ~P { x } e. A ) )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( X e. V /\ y e. ~P X ) -> ( A. x e. X ~P { x } e. A -> A. x e. y ~P { x } e. A ) )
33		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. V /\ y e. ~P X ) /\ ( x e. y /\ ~P { x } e. A ) ) -> x e. y )
34	33	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. V /\ y e. ~P X ) /\ ( x e. y /\ ~P { x } e. A ) ) -> { x } C_ y )
35	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. V /\ y e. ~P X ) /\ ( x e. y /\ ~P { x } e. A ) ) -> y C_ X )
36	34, 35	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. V /\ y e. ~P X ) /\ ( x e. y /\ ~P { x } e. A ) ) -> { x } C_ X )
37		snex 4908	. . . . . . . . . . . . 13 |- { x } e. _V
38	37	elpw 4164	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { x } e. ~P X <-> { x } C_ X )
39	36, 38	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. V /\ y e. ~P X ) /\ ( x e. y /\ ~P { x } e. A ) ) -> { x } e. ~P X )
40	37	elpw 4164	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { x } e. ~P y <-> { x } C_ y )
41	34, 40	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. V /\ y e. ~P X ) /\ ( x e. y /\ ~P { x } e. A ) ) -> { x } e. ~P y )
42	39, 41	elind 3798	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. V /\ y e. ~P X ) /\ ( x e. y /\ ~P { x } e. A ) ) -> { x } e. ( ~P X i^i ~P y ) )
43		snidg 4206	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. y -> x e. { x } )
44	43	ad2antrl 764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. V /\ y e. ~P X ) /\ ( x e. y /\ ~P { x } e. A ) ) -> x e. { x } )
45		simpll 790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. V /\ y e. ~P X ) /\ ( x e. y /\ ~P { x } e. A ) ) -> X e. V )
46	45, 36, 18	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. V /\ y e. ~P X ) /\ ( x e. y /\ ~P { x } e. A ) ) -> ( ~P X ↾t { x } ) = ~P { x } )
47		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. V /\ y e. ~P X ) /\ ( x e. y /\ ~P { x } e. A ) ) -> ~P { x } e. A )
48	46, 47	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. V /\ y e. ~P X ) /\ ( x e. y /\ ~P { x } e. A ) ) -> ( ~P X ↾t { x } ) e. A )
49		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = { x } -> ( x e. u <-> x e. { x } ) )
50		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = { x } -> ( ~P X ↾t u ) = ( ~P X ↾t { x } ) )
51	50	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = { x } -> ( ( ~P X ↾t u ) e. A <-> ( ~P X ↾t { x } ) e. A ) )
52	49, 51	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = { x } -> ( ( x e. u /\ ( ~P X ↾t u ) e. A ) <-> ( x e. { x } /\ ( ~P X ↾t { x } ) e. A ) ) )
53	52	rspcev 3309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { x } e. ( ~P X i^i ~P y ) /\ ( x e. { x } /\ ( ~P X ↾t { x } ) e. A ) ) -> E. u e. ( ~P X i^i ~P y ) ( x e. u /\ ( ~P X ↾t u ) e. A ) )
54	42, 44, 48, 53	syl12anc 1324	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. V /\ y e. ~P X ) /\ ( x e. y /\ ~P { x } e. A ) ) -> E. u e. ( ~P X i^i ~P y ) ( x e. u /\ ( ~P X ↾t u ) e. A ) )
55	54	expr 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. V /\ y e. ~P X ) /\ x e. y ) -> ( ~P { x } e. A -> E. u e. ( ~P X i^i ~P y ) ( x e. u /\ ( ~P X ↾t u ) e. A ) ) )
56	55	ralimdva 2962	. . . . . . 7 |- ( ( X e. V /\ y e. ~P X ) -> ( A. x e. y ~P { x } e. A -> A. x e. y E. u e. ( ~P X i^i ~P y ) ( x e. u /\ ( ~P X ↾t u ) e. A ) ) )
57	32, 56	syld 47	. . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ y e. ~P X ) -> ( A. x e. X ~P { x } e. A -> A. x e. y E. u e. ( ~P X i^i ~P y ) ( x e. u /\ ( ~P X ↾t u ) e. A ) ) )
58	57	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ y e. ~P X ) /\ A. x e. X ~P { x } e. A ) -> A. x e. y E. u e. ( ~P X i^i ~P y ) ( x e. u /\ ( ~P X ↾t u ) e. A ) )
59	58	an32s 846	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ A. x e. X ~P { x } e. A ) /\ y e. ~P X ) -> A. x e. y E. u e. ( ~P X i^i ~P y ) ( x e. u /\ ( ~P X ↾t u ) e. A ) )
60	59	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A. x e. X ~P { x } e. A ) -> A. y e. ~P X A. x e. y E. u e. ( ~P X i^i ~P y ) ( x e. u /\ ( ~P X ↾t u ) e. A ) )
61		islly 21271	. . 3 |- ( ~P X e. Locally A <-> ( ~P X e. Top /\ A. y e. ~P X A. x e. y E. u e. ( ~P X i^i ~P y ) ( x e. u /\ ( ~P X ↾t u ) e. A ) ) )
62	28, 60, 61	sylanbrc 698	. 2 |- ( ( X e. V /\ A. x e. X ~P { x } e. A ) -> ~P X e. Locally A )
63	26, 62	impbida 877	1 |- ( X e. V -> ( ~P X e. Locally A <-> A. x e. X ~P { x } e. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177  (class class class)co 6650   ↾_t crest 16081   Topctop 20698  Locally clly 21267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-lly 21269

This theorem is referenced by:  disllycmp  21301  dis1stc  21302