Theorem nllyidm 21292

Description: Idempotence of the "n-locally" predicate, i.e. being "n-locally A " is a local property. (Use loclly 21290 to show 𝑛Locally 𝑛Locally A = 𝑛Locally A.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nllyidm	|- Locally 𝑛Locally A = 𝑛Locally A

Proof of Theorem nllyidm

Dummy variables j u v x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		llytop 21275	. . . 4 |- ( j e. Locally 𝑛Locally A -> j e. Top )
2		llyi 21277	. . . . . . 7 |- ( ( j e. Locally 𝑛Locally A /\ x e. j /\ y e. x ) -> E. u e. j ( u C_ x /\ y e. u /\ ( j ↾t u ) e. 𝑛Locally A ) )
3		simprr3 1111	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( j e. Locally 𝑛Locally A /\ x e. j /\ y e. x ) /\ ( u e. j /\ ( u C_ x /\ y e. u /\ ( j ↾t u ) e. 𝑛Locally A ) ) ) -> ( j ↾t u ) e. 𝑛Locally A )
4		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( j e. Locally 𝑛Locally A /\ x e. j /\ y e. x ) /\ ( u e. j /\ ( u C_ x /\ y e. u /\ ( j ↾t u ) e. 𝑛Locally A ) ) ) -> u e. j )
5		ssid 3624	. . . . . . . . . . 11 |- u C_ u
6	5	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( j e. Locally 𝑛Locally A /\ x e. j /\ y e. x ) /\ ( u e. j /\ ( u C_ x /\ y e. u /\ ( j ↾t u ) e. 𝑛Locally A ) ) ) -> u C_ u )
7		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( j e. Locally 𝑛Locally A /\ x e. j /\ y e. x ) /\ ( u e. j /\ ( u C_ x /\ y e. u /\ ( j ↾t u ) e. 𝑛Locally A ) ) ) -> j e. Locally 𝑛Locally A )
8	7, 1	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( j e. Locally 𝑛Locally A /\ x e. j /\ y e. x ) /\ ( u e. j /\ ( u C_ x /\ y e. u /\ ( j ↾t u ) e. 𝑛Locally A ) ) ) -> j e. Top )
9		restopn2 20981	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. Top /\ u e. j ) -> ( u e. ( j ↾t u ) <-> ( u e. j /\ u C_ u ) ) )
10	8, 4, 9	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( j e. Locally 𝑛Locally A /\ x e. j /\ y e. x ) /\ ( u e. j /\ ( u C_ x /\ y e. u /\ ( j ↾t u ) e. 𝑛Locally A ) ) ) -> ( u e. ( j ↾t u ) <-> ( u e. j /\ u C_ u ) ) )
11	4, 6, 10	mpbir2and 957	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( j e. Locally 𝑛Locally A /\ x e. j /\ y e. x ) /\ ( u e. j /\ ( u C_ x /\ y e. u /\ ( j ↾t u ) e. 𝑛Locally A ) ) ) -> u e. ( j ↾t u ) )
12		simprr2 1110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( j e. Locally 𝑛Locally A /\ x e. j /\ y e. x ) /\ ( u e. j /\ ( u C_ x /\ y e. u /\ ( j ↾t u ) e. 𝑛Locally A ) ) ) -> y e. u )
13		nlly2i 21279	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( j ↾t u ) e. 𝑛Locally A /\ u e. ( j ↾t u ) /\ y e. u ) -> E. v e. ~P u E. z e. ( j ↾t u ) ( y e. z /\ z C_ v /\ ( ( j ↾t u ) ↾t v ) e. A ) )
14	3, 11, 12, 13	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( j e. Locally 𝑛Locally A /\ x e. j /\ y e. x ) /\ ( u e. j /\ ( u C_ x /\ y e. u /\ ( j ↾t u ) e. 𝑛Locally A ) ) ) -> E. v e. ~P u E. z e. ( j ↾t u ) ( y e. z /\ z C_ v /\ ( ( j ↾t u ) ↾t v ) e. A ) )
15		restopn2 20981	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. Top /\ u e. j ) -> ( z e. ( j ↾t u ) <-> ( z e. j /\ z C_ u ) ) )
16	8, 4, 15	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( j e. Locally 𝑛Locally A /\ x e. j /\ y e. x ) /\ ( u e. j /\ ( u C_ x /\ y e. u /\ ( j ↾t u ) e. 𝑛Locally A ) ) ) -> ( z e. ( j ↾t u ) <-> ( z e. j /\ z C_ u ) ) )
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( j e. Locally 𝑛Locally A /\ x e. j /\ y e. x ) /\ ( u e. j /\ ( u C_ x /\ y e. u /\ ( j ↾t u ) e. 𝑛Locally A ) ) ) /\ v e. ~P u ) -> ( z e. ( j ↾t u ) <-> ( z e. j /\ z C_ u ) ) )
18	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( j e. Locally 𝑛Locally A /\ x e. j /\ y e. x ) /\ ( u e. j /\ ( u C_ x /\ y e. u /\ ( j ↾t u ) e. 𝑛Locally A ) ) ) /\ ( v e. ~P u /\ ( z e. j /\ z C_ u ) /\ ( y e. z /\ z C_ v /\ ( ( j ↾t u ) ↾t v ) e. A ) ) ) -> j e. Top )
19		simpr2l 1120	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( j e. Locally 𝑛Locally A /\ x e. j /\ y e. x ) /\ ( u e. j /\ ( u C_ x /\ y e. u /\ ( j ↾t u ) e. 𝑛Locally A ) ) ) /\ ( v e. ~P u /\ ( z e. j /\ z C_ u ) /\ ( y e. z /\ z C_ v /\ ( ( j ↾t u ) ↾t v ) e. A ) ) ) -> z e. j )
20		simpr31 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( j e. Locally 𝑛Locally A /\ x e. j /\ y e. x ) /\ ( u e. j /\ ( u C_ x /\ y e. u /\ ( j ↾t u ) e. 𝑛Locally A ) ) ) /\ ( v e. ~P u /\ ( z e. j /\ z C_ u ) /\ ( y e. z /\ z C_ v /\ ( ( j ↾t u ) ↾t v ) e. A ) ) ) -> y e. z )
21		opnneip 20923	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( j e. Top /\ z e. j /\ y e. z ) -> z e. ( ( nei ` j ) ` { y } ) )
22	18, 19, 20, 21	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( j e. Locally 𝑛Locally A /\ x e. j /\ y e. x ) /\ ( u e. j /\ ( u C_ x /\ y e. u /\ ( j ↾t u ) e. 𝑛Locally A ) ) ) /\ ( v e. ~P u /\ ( z e. j /\ z C_ u ) /\ ( y e. z /\ z C_ v /\ ( ( j ↾t u ) ↾t v ) e. A ) ) ) -> z e. ( ( nei ` j ) ` { y } ) )
23		simpr32 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( j e. Locally 𝑛Locally A /\ x e. j /\ y e. x ) /\ ( u e. j /\ ( u C_ x /\ y e. u /\ ( j ↾t u ) e. 𝑛Locally A ) ) ) /\ ( v e. ~P u /\ ( z e. j /\ z C_ u ) /\ ( y e. z /\ z C_ v /\ ( ( j ↾t u ) ↾t v ) e. A ) ) ) -> z C_ v )
24		simpr1 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( j e. Locally 𝑛Locally A /\ x e. j /\ y e. x ) /\ ( u e. j /\ ( u C_ x /\ y e. u /\ ( j ↾t u ) e. 𝑛Locally A ) ) ) /\ ( v e. ~P u /\ ( z e. j /\ z C_ u ) /\ ( y e. z /\ z C_ v /\ ( ( j ↾t u ) ↾t v ) e. A ) ) ) -> v e. ~P u )
25	24	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( j e. Locally 𝑛Locally A /\ x e. j /\ y e. x ) /\ ( u e. j /\ ( u C_ x /\ y e. u /\ ( j ↾t u ) e. 𝑛Locally A ) ) ) /\ ( v e. ~P u /\ ( z e. j /\ z C_ u ) /\ ( y e. z /\ z C_ v /\ ( ( j ↾t u ) ↾t v ) e. A ) ) ) -> v C_ u )
26	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( j e. Locally 𝑛Locally A /\ x e. j /\ y e. x ) /\ ( u e. j /\ ( u C_ x /\ y e. u /\ ( j ↾t u ) e. 𝑛Locally A ) ) ) /\ ( v e. ~P u /\ ( z e. j /\ z C_ u ) /\ ( y e. z /\ z C_ v /\ ( ( j ↾t u ) ↾t v ) e. A ) ) ) -> u e. j )
27		elssuni 4467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u e. j -> u C_ U. j )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( j e. Locally 𝑛Locally A /\ x e. j /\ y e. x ) /\ ( u e. j /\ ( u C_ x /\ y e. u /\ ( j ↾t u ) e. 𝑛Locally A ) ) ) /\ ( v e. ~P u /\ ( z e. j /\ z C_ u ) /\ ( y e. z /\ z C_ v /\ ( ( j ↾t u ) ↾t v ) e. A ) ) ) -> u C_ U. j )
29	25, 28	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( j e. Locally 𝑛Locally A /\ x e. j /\ y e. x ) /\ ( u e. j /\ ( u C_ x /\ y e. u /\ ( j ↾t u ) e. 𝑛Locally A ) ) ) /\ ( v e. ~P u /\ ( z e. j /\ z C_ u ) /\ ( y e. z /\ z C_ v /\ ( ( j ↾t u ) ↾t v ) e. A ) ) ) -> v C_ U. j )
30		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U. j = U. j
31	30	ssnei2 20920	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( j e. Top /\ z e. ( ( nei ` j ) ` { y } ) ) /\ ( z C_ v /\ v C_ U. j ) ) -> v e. ( ( nei ` j ) ` { y } ) )
32	18, 22, 23, 29, 31	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( j e. Locally 𝑛Locally A /\ x e. j /\ y e. x ) /\ ( u e. j /\ ( u C_ x /\ y e. u /\ ( j ↾t u ) e. 𝑛Locally A ) ) ) /\ ( v e. ~P u /\ ( z e. j /\ z C_ u ) /\ ( y e. z /\ z C_ v /\ ( ( j ↾t u ) ↾t v ) e. A ) ) ) -> v e. ( ( nei ` j ) ` { y } ) )
33		simprr1 1109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( j e. Locally 𝑛Locally A /\ x e. j /\ y e. x ) /\ ( u e. j /\ ( u C_ x /\ y e. u /\ ( j ↾t u ) e. 𝑛Locally A ) ) ) -> u C_ x )
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( j e. Locally 𝑛Locally A /\ x e. j /\ y e. x ) /\ ( u e. j /\ ( u C_ x /\ y e. u /\ ( j ↾t u ) e. 𝑛Locally A ) ) ) /\ ( v e. ~P u /\ ( z e. j /\ z C_ u ) /\ ( y e. z /\ z C_ v /\ ( ( j ↾t u ) ↾t v ) e. A ) ) ) -> u C_ x )
35	25, 34	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( j e. Locally 𝑛Locally A /\ x e. j /\ y e. x ) /\ ( u e. j /\ ( u C_ x /\ y e. u /\ ( j ↾t u ) e. 𝑛Locally A ) ) ) /\ ( v e. ~P u /\ ( z e. j /\ z C_ u ) /\ ( y e. z /\ z C_ v /\ ( ( j ↾t u ) ↾t v ) e. A ) ) ) -> v C_ x )
36		selpw 4165	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v e. ~P x <-> v C_ x )
37	35, 36	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( j e. Locally 𝑛Locally A /\ x e. j /\ y e. x ) /\ ( u e. j /\ ( u C_ x /\ y e. u /\ ( j ↾t u ) e. 𝑛Locally A ) ) ) /\ ( v e. ~P u /\ ( z e. j /\ z C_ u ) /\ ( y e. z /\ z C_ v /\ ( ( j ↾t u ) ↾t v ) e. A ) ) ) -> v e. ~P x )
38	32, 37	elind 3798	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( j e. Locally 𝑛Locally A /\ x e. j /\ y e. x ) /\ ( u e. j /\ ( u C_ x /\ y e. u /\ ( j ↾t u ) e. 𝑛Locally A ) ) ) /\ ( v e. ~P u /\ ( z e. j /\ z C_ u ) /\ ( y e. z /\ z C_ v /\ ( ( j ↾t u ) ↾t v ) e. A ) ) ) -> v e. ( ( ( nei ` j ) ` { y } ) i^i ~P x ) )
39		restabs 20969	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( j e. Top /\ v C_ u /\ u e. j ) -> ( ( j ↾t u ) ↾t v ) = ( j ↾t v ) )
40	18, 25, 26, 39	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( j e. Locally 𝑛Locally A /\ x e. j /\ y e. x ) /\ ( u e. j /\ ( u C_ x /\ y e. u /\ ( j ↾t u ) e. 𝑛Locally A ) ) ) /\ ( v e. ~P u /\ ( z e. j /\ z C_ u ) /\ ( y e. z /\ z C_ v /\ ( ( j ↾t u ) ↾t v ) e. A ) ) ) -> ( ( j ↾t u ) ↾t v ) = ( j ↾t v ) )
41		simpr33 1153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( j e. Locally 𝑛Locally A /\ x e. j /\ y e. x ) /\ ( u e. j /\ ( u C_ x /\ y e. u /\ ( j ↾t u ) e. 𝑛Locally A ) ) ) /\ ( v e. ~P u /\ ( z e. j /\ z C_ u ) /\ ( y e. z /\ z C_ v /\ ( ( j ↾t u ) ↾t v ) e. A ) ) ) -> ( ( j ↾t u ) ↾t v ) e. A )
42	40, 41	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( j e. Locally 𝑛Locally A /\ x e. j /\ y e. x ) /\ ( u e. j /\ ( u C_ x /\ y e. u /\ ( j ↾t u ) e. 𝑛Locally A ) ) ) /\ ( v e. ~P u /\ ( z e. j /\ z C_ u ) /\ ( y e. z /\ z C_ v /\ ( ( j ↾t u ) ↾t v ) e. A ) ) ) -> ( j ↾t v ) e. A )
43	38, 42	jca 554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( j e. Locally 𝑛Locally A /\ x e. j /\ y e. x ) /\ ( u e. j /\ ( u C_ x /\ y e. u /\ ( j ↾t u ) e. 𝑛Locally A ) ) ) /\ ( v e. ~P u /\ ( z e. j /\ z C_ u ) /\ ( y e. z /\ z C_ v /\ ( ( j ↾t u ) ↾t v ) e. A ) ) ) -> ( v e. ( ( ( nei ` j ) ` { y } ) i^i ~P x ) /\ ( j ↾t v ) e. A ) )
44	43	3exp2 1285	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( j e. Locally 𝑛Locally A /\ x e. j /\ y e. x ) /\ ( u e. j /\ ( u C_ x /\ y e. u /\ ( j ↾t u ) e. 𝑛Locally A ) ) ) -> ( v e. ~P u -> ( ( z e. j /\ z C_ u ) -> ( ( y e. z /\ z C_ v /\ ( ( j ↾t u ) ↾t v ) e. A ) -> ( v e. ( ( ( nei ` j ) ` { y } ) i^i ~P x ) /\ ( j ↾t v ) e. A ) ) ) ) )
45	44	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( j e. Locally 𝑛Locally A /\ x e. j /\ y e. x ) /\ ( u e. j /\ ( u C_ x /\ y e. u /\ ( j ↾t u ) e. 𝑛Locally A ) ) ) /\ v e. ~P u ) -> ( ( z e. j /\ z C_ u ) -> ( ( y e. z /\ z C_ v /\ ( ( j ↾t u ) ↾t v ) e. A ) -> ( v e. ( ( ( nei ` j ) ` { y } ) i^i ~P x ) /\ ( j ↾t v ) e. A ) ) ) )
46	17, 45	sylbid 230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( j e. Locally 𝑛Locally A /\ x e. j /\ y e. x ) /\ ( u e. j /\ ( u C_ x /\ y e. u /\ ( j ↾t u ) e. 𝑛Locally A ) ) ) /\ v e. ~P u ) -> ( z e. ( j ↾t u ) -> ( ( y e. z /\ z C_ v /\ ( ( j ↾t u ) ↾t v ) e. A ) -> ( v e. ( ( ( nei ` j ) ` { y } ) i^i ~P x ) /\ ( j ↾t v ) e. A ) ) ) )
47	46	rexlimdv 3030	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( j e. Locally 𝑛Locally A /\ x e. j /\ y e. x ) /\ ( u e. j /\ ( u C_ x /\ y e. u /\ ( j ↾t u ) e. 𝑛Locally A ) ) ) /\ v e. ~P u ) -> ( E. z e. ( j ↾t u ) ( y e. z /\ z C_ v /\ ( ( j ↾t u ) ↾t v ) e. A ) -> ( v e. ( ( ( nei ` j ) ` { y } ) i^i ~P x ) /\ ( j ↾t v ) e. A ) ) )
48	47	expimpd 629	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( j e. Locally 𝑛Locally A /\ x e. j /\ y e. x ) /\ ( u e. j /\ ( u C_ x /\ y e. u /\ ( j ↾t u ) e. 𝑛Locally A ) ) ) -> ( ( v e. ~P u /\ E. z e. ( j ↾t u ) ( y e. z /\ z C_ v /\ ( ( j ↾t u ) ↾t v ) e. A ) ) -> ( v e. ( ( ( nei ` j ) ` { y } ) i^i ~P x ) /\ ( j ↾t v ) e. A ) ) )
49	48	reximdv2 3014	. . . . . . . 8 |- ( ( ( j e. Locally 𝑛Locally A /\ x e. j /\ y e. x ) /\ ( u e. j /\ ( u C_ x /\ y e. u /\ ( j ↾t u ) e. 𝑛Locally A ) ) ) -> ( E. v e. ~P u E. z e. ( j ↾t u ) ( y e. z /\ z C_ v /\ ( ( j ↾t u ) ↾t v ) e. A ) -> E. v e. ( ( ( nei ` j ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( j ↾t v ) e. A ) )
50	14, 49	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( j e. Locally 𝑛Locally A /\ x e. j /\ y e. x ) /\ ( u e. j /\ ( u C_ x /\ y e. u /\ ( j ↾t u ) e. 𝑛Locally A ) ) ) -> E. v e. ( ( ( nei ` j ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( j ↾t v ) e. A )
51	2, 50	rexlimddv 3035	. . . . . 6 |- ( ( j e. Locally 𝑛Locally A /\ x e. j /\ y e. x ) -> E. v e. ( ( ( nei ` j ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( j ↾t v ) e. A )
52	51	3expb 1266	. . . . 5 |- ( ( j e. Locally 𝑛Locally A /\ ( x e. j /\ y e. x ) ) -> E. v e. ( ( ( nei ` j ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( j ↾t v ) e. A )
53	52	ralrimivva 2971	. . . 4 |- ( j e. Locally 𝑛Locally A -> A. x e. j A. y e. x E. v e. ( ( ( nei ` j ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( j ↾t v ) e. A )
54		isnlly 21272	. . . 4 |- ( j e. 𝑛Locally A <-> ( j e. Top /\ A. x e. j A. y e. x E. v e. ( ( ( nei ` j ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( j ↾t v ) e. A ) )
55	1, 53, 54	sylanbrc 698	. . 3 |- ( j e. Locally 𝑛Locally A -> j e. 𝑛Locally A )
56	55	ssriv 3607	. 2 |- Locally 𝑛Locally A C_ 𝑛Locally A
57		nllyrest 21289	. . . . 5 |- ( ( j e. 𝑛Locally A /\ x e. j ) -> ( j ↾t x ) e. 𝑛Locally A )
58	57	adantl 482	. . . 4 |- ( ( T. /\ ( j e. 𝑛Locally A /\ x e. j ) ) -> ( j ↾t x ) e. 𝑛Locally A )
59		nllytop 21276	. . . . . 6 |- ( j e. 𝑛Locally A -> j e. Top )
60	59	ssriv 3607	. . . . 5 |- 𝑛Locally A C_ Top
61	60	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> 𝑛Locally A C_ Top )
62	58, 61	restlly 21286	. . 3 |- ( T. -> 𝑛Locally A C_ Locally 𝑛Locally A )
63	62	trud 1493	. 2 |- 𝑛Locally A C_ Locally 𝑛Locally A
64	56, 63	eqssi 3619	1 |- Locally 𝑛Locally A = 𝑛Locally A

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ↾_t crest 16081   Topctop 20698   neicnei 20901  Locally clly 21267  𝑛Locally cnlly 21268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-nei 20902  df-lly 21269  df-nlly 21270

This theorem is referenced by: (None)