Theorem llyrest 21288

Description: An open subspace of a locally A space is also locally A. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
llyrest	|- ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) -> ( J ↾t B ) e. Locally A )

Proof of Theorem llyrest

Dummy variables v x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		llytop 21275	. . 3 |- ( J e. Locally A -> J e. Top )
2		resttop 20964	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ B e. J ) -> ( J ↾t B ) e. Top )
3	1, 2	sylan 488	. 2 |- ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) -> ( J ↾t B ) e. Top )
4		restopn2 20981	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ B e. J ) -> ( x e. ( J ↾t B ) <-> ( x e. J /\ x C_ B ) ) )
5	1, 4	sylan 488	. . . 4 |- ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) -> ( x e. ( J ↾t B ) <-> ( x e. J /\ x C_ B ) ) )
6		simp1l 1085	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> J e. Locally A )
7		simp2l 1087	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> x e. J )
8		simp3 1063	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> y e. x )
9		llyi 21277	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Locally A /\ x e. J /\ y e. x ) -> E. v e. J ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) )
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> E. v e. J ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) )
11		simprl 794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> v e. J )
12		simprr1 1109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> v C_ x )
13		simpl2r 1115	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> x C_ B )
14	12, 13	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> v C_ B )
15	6, 1	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> J e. Top )
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> J e. Top )
17		simpl1r 1113	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> B e. J )
18		restopn2 20981	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ B e. J ) -> ( v e. ( J ↾t B ) <-> ( v e. J /\ v C_ B ) ) )
19	16, 17, 18	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> ( v e. ( J ↾t B ) <-> ( v e. J /\ v C_ B ) ) )
20	11, 14, 19	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> v e. ( J ↾t B ) )
21		selpw 4165	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v e. ~P x <-> v C_ x )
22	12, 21	sylibr 224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> v e. ~P x )
23	20, 22	elind 3798	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) )
24		simprr2 1110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> y e. v )
25		restabs 20969	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ v C_ B /\ B e. J ) -> ( ( J ↾t B ) ↾t v ) = ( J ↾t v ) )
26	16, 14, 17, 25	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> ( ( J ↾t B ) ↾t v ) = ( J ↾t v ) )
27		simprr3 1111	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> ( J ↾t v ) e. A )
28	26, 27	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A )
29	23, 24, 28	jca32 558	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) /\ ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) ) -> ( v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) /\ ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) ) )
30	29	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> ( ( v e. J /\ ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) ) -> ( v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) /\ ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) ) ) )
31	30	reximdv2 3014	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> ( E. v e. J ( v C_ x /\ y e. v /\ ( J ↾t v ) e. A ) -> E. v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) ) )
32	10, 31	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) /\ y e. x ) -> E. v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) )
33	32	3expa 1265	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) ) /\ y e. x ) -> E. v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) )
34	33	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) /\ ( x e. J /\ x C_ B ) ) -> A. y e. x E. v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) )
35	34	ex 450	. . . 4 |- ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) -> ( ( x e. J /\ x C_ B ) -> A. y e. x E. v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) ) )
36	5, 35	sylbid 230	. . 3 |- ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) -> ( x e. ( J ↾t B ) -> A. y e. x E. v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) ) )
37	36	ralrimiv 2965	. 2 |- ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) -> A. x e. ( J ↾t B ) A. y e. x E. v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) )
38		islly 21271	. 2 |- ( ( J ↾t B ) e. Locally A <-> ( ( J ↾t B ) e. Top /\ A. x e. ( J ↾t B ) A. y e. x E. v e. ( ( J ↾t B ) i^i ~P x ) ( y e. v /\ ( ( J ↾t B ) ↾t v ) e. A ) ) )
39	3, 37, 38	sylanbrc 698	1 |- ( ( J e. Locally A /\ B e. J ) -> ( J ↾t B ) e. Locally A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158  (class class class)co 6650   ↾_t crest 16081   Topctop 20698  Locally clly 21267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-lly 21269

This theorem is referenced by:  loclly  21290  llyidm  21291