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Theorem lncmp 35069
Description: If two lines are comparable, they are equal. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lncmp.b |- B = ( Base ` K )
lncmp.l |- .<_ = ( le ` K )
lncmp.n |- N = ( Lines ` K )
lncmp.m |- M = ( pmap ` K )
Assertion
Ref Expression
lncmp |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) -> ( X .<_ Y <-> X = Y ) )
Proof of Theorem lncmp
Dummy variables q p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplrl 800 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y ) -> ( M ` X ) e. N )
2 simpll1 1100 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y ) -> K e. HL )
3 simpll2 1101 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y ) -> X e. B )
4 lncmp.b . . . . . . 7 |- B = ( Base ` K )
5 eqid 2622 . . . . . . 7 |- ( join ` K ) = ( join ` K )
6 eqid 2622 . . . . . . 7 |- ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K )
7 lncmp.n . . . . . . 7 |- N = ( Lines ` K )
8 lncmp.m . . . . . . 7 |- M = ( pmap ` K )
94, 5, 6, 7, 8isline3 35062 . . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ X e. B ) -> ( ( M ` X ) e. N <-> E. p e. ( Atoms ` K ) E. q e. ( Atoms ` K ) ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) )
102, 3, 9syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y ) -> ( ( M ` X ) e. N <-> E. p e. ( Atoms ` K ) E. q e. ( Atoms ` K ) ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) )
111, 10mpbid 222 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y ) -> E. p e. ( Atoms ` K ) E. q e. ( Atoms ` K ) ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) )
12 simp3rr 1135 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> X = ( p ( join ` K ) q ) )
13 simp1l1 1154 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> K e. HL )
14 simp1l3 1156 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> Y e. B )
15 simp1rr 1127 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> ( M ` Y ) e. N )
16 simp3ll 1132 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> p e. ( Atoms ` K ) )
17 simp3lr 1133 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> q e. ( Atoms ` K ) )
18 simp3rl 1134 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> p =/= q )
19 lncmp.l . . . . . . . . . 10 |- .<_ = ( le ` K )
20 hllat 34650 . . . . . . . . . . 11 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
2113, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> K e. Lat )
224, 6atbase 34576 . . . . . . . . . . 11 |- ( p e. ( Atoms ` K ) -> p e. B )
2316, 22syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> p e. B )
24 simp1l2 1155 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> X e. B )
2519, 5, 6hlatlej1 34661 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) -> p .<_ ( p ( join ` K ) q ) )
2613, 16, 17, 25syl3anc 1326 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> p .<_ ( p ( join ` K ) q ) )
2726, 12breqtrrd 4681 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> p .<_ X )
28 simp2 1062 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> X .<_ Y )
294, 19, 21, 23, 24, 14, 27, 28lattrd 17058 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> p .<_ Y )
304, 6atbase 34576 . . . . . . . . . . 11 |- ( q e. ( Atoms ` K ) -> q e. B )
3117, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> q e. B )
3219, 5, 6hlatlej2 34662 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) -> q .<_ ( p ( join ` K ) q ) )
3313, 16, 17, 32syl3anc 1326 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> q .<_ ( p ( join ` K ) q ) )
3433, 12breqtrrd 4681 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> q .<_ X )
354, 19, 21, 31, 24, 14, 34, 28lattrd 17058 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> q .<_ Y )
364, 19, 5, 6, 7, 8lneq2at 35064 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ Y e. B /\ ( M ` Y ) e. N ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) /\ p =/= q ) /\ ( p .<_ Y /\ q .<_ Y ) ) -> Y = ( p ( join ` K ) q ) )
3713, 14, 15, 16, 17, 18, 29, 35, 36syl332anc 1357 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> Y = ( p ( join ` K ) q ) )
3812, 37eqtr4d 2659 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y /\ ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) ) -> X = Y )
39383expia 1267 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y ) -> ( ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) /\ ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) ) -> X = Y ) )
4039expd 452 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y ) -> ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ q e. ( Atoms ` K ) ) -> ( ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) -> X = Y ) ) )
4140rexlimdvv 3037 . . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y ) -> ( E. p e. ( Atoms ` K ) E. q e. ( Atoms ` K ) ( p =/= q /\ X = ( p ( join ` K ) q ) ) -> X = Y ) )
4211, 41mpd 15 . . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) /\ X .<_ Y ) -> X = Y )
4342ex 450 . 2 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) -> ( X .<_ Y -> X = Y ) )
44 simpl1 1064 . . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) -> K e. HL )
4544, 20syl 17 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) -> K e. Lat )
46 simpl2 1065 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) -> X e. B )
474, 19latref 17053 . . . 4 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B ) -> X .<_ X )
4845, 46, 47syl2anc 693 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) -> X .<_ X )
49 breq2 4657 . . 3 |- ( X = Y -> ( X .<_ X <-> X .<_ Y ) )
5048, 49syl5ibcom 235 . 2 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) -> ( X = Y -> X .<_ Y ) )
5143, 50impbid 202 1 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( M ` X ) e. N /\ ( M ` Y ) e. N ) ) -> ( X .<_ Y <-> X = Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   lecple 15948   joincjn 16944   Latclat 17045   Atomscatm 34550   HLchlt 34637   Linesclines 34780   pmapcpmap 34783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-lines 34787  df-pmap 34790
This theorem is referenced by:  2lnat  35070
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