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Theorem 2lnat 35070
Description: Two intersecting lines intersect at an atom. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2lnat.b |- B = ( Base ` K )
2lnat.m |- ./\ = ( meet ` K )
2lnat.z |- .0. = ( 0. ` K )
2lnat.a |- A = ( Atoms ` K )
2lnat.n |- N = ( Lines ` K )
2lnat.f |- F = ( pmap ` K )
Assertion
Ref Expression
2lnat |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( F ` X ) e. N /\ ( F ` Y ) e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) -> ( X ./\ Y ) e. A )
Proof of Theorem 2lnat
Dummy variable p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp11 1091 . . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( F ` X ) e. N /\ ( F ` Y ) e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) -> K e. HL )
2 hlatl 34647 . . . . 5 |- ( K e. HL -> K e. AtLat )
31, 2syl 17 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( F ` X ) e. N /\ ( F ` Y ) e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) -> K e. AtLat )
4 hllat 34650 . . . . . 6 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
51, 4syl 17 . . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( F ` X ) e. N /\ ( F ` Y ) e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) -> K e. Lat )
6 simp12 1092 . . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( F ` X ) e. N /\ ( F ` Y ) e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) -> X e. B )
7 simp13 1093 . . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( F ` X ) e. N /\ ( F ` Y ) e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) -> Y e. B )
8 2lnat.b . . . . . 6 |- B = ( Base ` K )
9 2lnat.m . . . . . 6 |- ./\ = ( meet ` K )
108, 9latmcl 17052 . . . . 5 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ./\ Y ) e. B )
115, 6, 7, 10syl3anc 1326 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( F ` X ) e. N /\ ( F ` Y ) e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) -> ( X ./\ Y ) e. B )
12 simp3r 1090 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( F ` X ) e. N /\ ( F ` Y ) e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) -> ( X ./\ Y ) =/= .0. )
13 eqid 2622 . . . . 5 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
14 2lnat.z . . . . 5 |- .0. = ( 0. ` K )
15 2lnat.a . . . . 5 |- A = ( Atoms ` K )
168, 13, 14, 15atlex 34603 . . . 4 |- ( ( K e. AtLat /\ ( X ./\ Y ) e. B /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) -> E. p e. A p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) )
173, 11, 12, 16syl3anc 1326 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( F ` X ) e. N /\ ( F ` Y ) e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) -> E. p e. A p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) )
18 simp13l 1176 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( F ` X ) e. N /\ ( F ` Y ) e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> X =/= Y )
19 simp11 1091 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( F ` X ) e. N /\ ( F ` Y ) e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) )
20 simp12l 1174 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( F ` X ) e. N /\ ( F ` Y ) e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> ( F ` X ) e. N )
21 simp12r 1175 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( F ` X ) e. N /\ ( F ` Y ) e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> ( F ` Y ) e. N )
22 2lnat.n . . . . . . . . . . 11 |- N = ( Lines ` K )
23 2lnat.f . . . . . . . . . . 11 |- F = ( pmap ` K )
248, 13, 22, 23lncmp 35069 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( F ` X ) e. N /\ ( F ` Y ) e. N ) ) -> ( X ( le ` K ) Y <-> X = Y ) )
2519, 20, 21, 24syl12anc 1324 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( F ` X ) e. N /\ ( F ` Y ) e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> ( X ( le ` K ) Y <-> X = Y ) )
26 simp111 1190 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( F ` X ) e. N /\ ( F ` Y ) e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> K e. HL )
2726, 4syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( F ` X ) e. N /\ ( F ` Y ) e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> K e. Lat )
28 simp112 1191 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( F ` X ) e. N /\ ( F ` Y ) e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> X e. B )
29 simp113 1192 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( F ` X ) e. N /\ ( F ` Y ) e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> Y e. B )
308, 13, 9latleeqm1 17079 . . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ( le ` K ) Y <-> ( X ./\ Y ) = X ) )
3127, 28, 29, 30syl3anc 1326 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( F ` X ) e. N /\ ( F ` Y ) e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> ( X ( le ` K ) Y <-> ( X ./\ Y ) = X ) )
3225, 31bitr3d 270 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( F ` X ) e. N /\ ( F ` Y ) e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> ( X = Y <-> ( X ./\ Y ) = X ) )
3332necon3bid 2838 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( F ` X ) e. N /\ ( F ` Y ) e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> ( X =/= Y <-> ( X ./\ Y ) =/= X ) )
3418, 33mpbid 222 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( F ` X ) e. N /\ ( F ` Y ) e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> ( X ./\ Y ) =/= X )
35 simp3 1063 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( F ` X ) e. N /\ ( F ` Y ) e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) )
368, 13, 9latmle1 17076 . . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ./\ Y ) ( le ` K ) X )
3727, 28, 29, 36syl3anc 1326 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( F ` X ) e. N /\ ( F ` Y ) e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> ( X ./\ Y ) ( le ` K ) X )
38 hlpos 34652 . . . . . . . . . . 11 |- ( K e. HL -> K e. Poset )
3926, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( F ` X ) e. N /\ ( F ` Y ) e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> K e. Poset )
408, 15atbase 34576 . . . . . . . . . . 11 |- ( p e. A -> p e. B )
41403ad2ant2 1083 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( F ` X ) e. N /\ ( F ` Y ) e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> p e. B )
4227, 28, 29, 10syl3anc 1326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( F ` X ) e. N /\ ( F ` Y ) e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> ( X ./\ Y ) e. B )
43 simp2 1062 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( F ` X ) e. N /\ ( F ` Y ) e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> p e. A )
448, 13, 27, 41, 42, 28, 35, 37lattrd 17058 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( F ` X ) e. N /\ ( F ` Y ) e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> p ( le ` K ) X )
45 eqid 2622 . . . . . . . . . . . 12 |- ( <o ` K ) = ( <o ` K )
468, 13, 45, 15, 22, 23lncvrat 35068 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ p e. A ) /\ ( ( F ` X ) e. N /\ p ( le ` K ) X ) ) -> p ( <o ` K ) X )
4726, 28, 43, 20, 44, 46syl32anc 1334 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( F ` X ) e. N /\ ( F ` Y ) e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> p ( <o ` K ) X )
488, 13, 45cvrnbtwn4 34566 . . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. Poset /\ ( p e. B /\ X e. B /\ ( X ./\ Y ) e. B ) /\ p ( <o ` K ) X ) -> ( ( p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) /\ ( X ./\ Y ) ( le ` K ) X ) <-> ( p = ( X ./\ Y ) \/ ( X ./\ Y ) = X ) ) )
4939, 41, 28, 42, 47, 48syl131anc 1339 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( F ` X ) e. N /\ ( F ` Y ) e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> ( ( p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) /\ ( X ./\ Y ) ( le ` K ) X ) <-> ( p = ( X ./\ Y ) \/ ( X ./\ Y ) = X ) ) )
5035, 37, 49mpbi2and 956 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( F ` X ) e. N /\ ( F ` Y ) e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> ( p = ( X ./\ Y ) \/ ( X ./\ Y ) = X ) )
51 neor 2885 . . . . . . . 8 |- ( ( p = ( X ./\ Y ) \/ ( X ./\ Y ) = X ) <-> ( p =/= ( X ./\ Y ) -> ( X ./\ Y ) = X ) )
5250, 51sylib 208 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( F ` X ) e. N /\ ( F ` Y ) e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> ( p =/= ( X ./\ Y ) -> ( X ./\ Y ) = X ) )
5352necon1d 2816 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( F ` X ) e. N /\ ( F ` Y ) e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> ( ( X ./\ Y ) =/= X -> p = ( X ./\ Y ) ) )
5434, 53mpd 15 . . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( F ` X ) e. N /\ ( F ` Y ) e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) /\ p e. A /\ p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) ) -> p = ( X ./\ Y ) )
55543exp 1264 . . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( F ` X ) e. N /\ ( F ` Y ) e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) -> ( p e. A -> ( p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) -> p = ( X ./\ Y ) ) ) )
5655reximdvai 3015 . . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( F ` X ) e. N /\ ( F ` Y ) e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) -> ( E. p e. A p ( le ` K ) ( X ./\ Y ) -> E. p e. A p = ( X ./\ Y ) ) )
5717, 56mpd 15 . 2 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( F ` X ) e. N /\ ( F ` Y ) e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) -> E. p e. A p = ( X ./\ Y ) )
58 risset 3062 . 2 |- ( ( X ./\ Y ) e. A <-> E. p e. A p = ( X ./\ Y ) )
5957, 58sylibr 224 1 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( F ` X ) e. N /\ ( F ` Y ) e. N ) /\ ( X =/= Y /\ ( X ./\ Y ) =/= .0. ) ) -> ( X ./\ Y ) e. A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   lecple 15948   Posetcpo 16940   meetcmee 16945   0.cp0 17037   Latclat 17045   <o ccvr 34549   Atomscatm 34550   AtLatcal 34551   HLchlt 34637   Linesclines 34780   pmapcpmap 34783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-lines 34787  df-pmap 34790
This theorem is referenced by:  cdleme3h  35522  cdleme7ga  35535
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