Theorem lssats2 19000

Description: A way to express atomisticity (a subspace is the union of its atoms). (Contributed by NM, 3-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssats2.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lssats2.n	|- N = ( LSpan ` W )
lssats2.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lssats2.u	|- ( ph -> U e. S )

Assertion

Ref	Expression
lssats2	|- ( ph -> U = U_ x e. U ( N ` { x } ) )

Distinct variable groups:   x, N   x, U   ph, x

Allowed substitution hints:   S( x)   W( x)

Proof of Theorem lssats2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. U ) -> y e. U )
2		lssats2.w	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. LMod )
3	2	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. U ) -> W e. LMod )
4		lssats2.u	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. S )
5		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
6		lssats2.s	. . . . . . . . 9 |- S = ( LSubSp ` W )
7	5, 6	lssel 18938	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. S /\ y e. U ) -> y e. ( Base ` W ) )
8	4, 7	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. U ) -> y e. ( Base ` W ) )
9		lssats2.n	. . . . . . . 8 |- N = ( LSpan ` W )
10	5, 9	lspsnid 18993	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ y e. ( Base ` W ) ) -> y e. ( N ` { y } ) )
11	3, 8, 10	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. U ) -> y e. ( N ` { y } ) )
12		sneq 4187	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> { x } = { y } )
13	12	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( N ` { x } ) = ( N ` { y } ) )
14	13	eleq2d 2687	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( y e. ( N ` { x } ) <-> y e. ( N ` { y } ) ) )
15	14	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( y e. U /\ y e. ( N ` { y } ) ) -> E. x e. U y e. ( N ` { x } ) )
16	1, 11, 15	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. U ) -> E. x e. U y e. ( N ` { x } ) )
17	16	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. U -> E. x e. U y e. ( N ` { x } ) ) )
18	2	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> W e. LMod )
19	4	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> U e. S )
20		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> x e. U )
21	6, 9, 18, 19, 20	lspsnel5a 18996	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> ( N ` { x } ) C_ U )
22	21	sseld 3602	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> ( y e. ( N ` { x } ) -> y e. U ) )
23	22	rexlimdva 3031	. . . 4 |- ( ph -> ( E. x e. U y e. ( N ` { x } ) -> y e. U ) )
24	17, 23	impbid 202	. . 3 |- ( ph -> ( y e. U <-> E. x e. U y e. ( N ` { x } ) ) )
25		eliun 4524	. . 3 |- ( y e. U_ x e. U ( N ` { x } ) <-> E. x e. U y e. ( N ` { x } ) )
26	24, 25	syl6bbr 278	. 2 |- ( ph -> ( y e. U <-> y e. U_ x e. U ( N ` { x } ) ) )
27	26	eqrdv 2620	1 |- ( ph -> U = U_ x e. U ( N ` { x } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   {csn 4177   U_ciun 4520   ` cfv 5888   Basecbs 15857   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932   LSpanclspn 18971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972

This theorem is referenced by: (None)