Theorem lssel 18938

Description: A subspace member is a vector. (Contributed by NM, 11-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssss.v	|- V = ( Base ` W )
lssss.s	|- S = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
lssel	|- ( ( U e. S /\ X e. U ) -> X e. V )

Proof of Theorem lssel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssss.v	. . 3 |- V = ( Base ` W )
2		lssss.s	. . 3 |- S = ( LSubSp ` W )
3	1, 2	lssss 18937	. 2 |- ( U e. S -> U C_ V )
4	3	sselda 3603	1 |- ( ( U e. S /\ X e. U ) -> X e. V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888   Basecbs 15857   LSubSpclss 18932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-lss 18933

This theorem is referenced by:  lssvsubcl  18944  lssvancl1  18945  lssvancl2  18946  lss0cl  18947  lssvacl  18954  lssvscl  18955  lssvnegcl  18956  lspsnel6  18994  lspsnel5a  18996  lssats2  19000  lsmcl  19083  lsmelval2  19085  lsmcv  19141  ocvin  20018  lsatel  34292  lsmsat  34295  lssatomic  34298  lssats  34299  lsat0cv  34320  lshpkrlem1  34397  lshpkrlem5  34401  lshpkr  34404  dihjat1lem  36717  dochsatshpb  36741  lcfrvalsnN  36830  lcfrlem4  36834  lcfrlem6  36836  lcfrlem16  36847  lcfrlem29  36860  lcfrlem35  36866  mapdval4N  36921  mapdpglem2a  36963  mapdpglem23  36983