Theorem lspsnid 18993

Description: A vector belongs to the span of its singleton. (spansnid 28422 analog.) (Contributed by NM, 9-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnid.v	|- V = ( Base ` W )
lspsnid.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspsnid	|- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> X e. ( N ` { X } ) )

Proof of Theorem lspsnid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4339	. . 3 |- ( X e. V -> { X } C_ V )
2		lspsnid.v	. . . 4 |- V = ( Base ` W )
3		lspsnid.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` W )
4	2, 3	lspssid 18985	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ { X } C_ V ) -> { X } C_ ( N ` { X } ) )
5	1, 4	sylan2 491	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> { X } C_ ( N ` { X } ) )
6		snssg 4327	. . 3 |- ( X e. V -> ( X e. ( N ` { X } ) <-> { X } C_ ( N ` { X } ) ) )
7	6	adantl 482	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( X e. ( N ` { X } ) <-> { X } C_ ( N ` { X } ) ) )
8	5, 7	mpbird 247	1 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> X e. ( N ` { X } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   {csn 4177   ` cfv 5888   Basecbs 15857   LModclmod 18863   LSpanclspn 18971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972

This theorem is referenced by:  lspsnel6  18994  lssats2  19000  lspsneli  19001  lspsn  19002  lspsneq0  19012  lsmelval2  19085  lspprabs  19095  lspabs3  19121  lspsnel4  19124  lspdisjb  19126  lspfixed  19128  lshpnelb  34271  lsateln0  34282  lssats  34299  dia1dimid  36352  dochnel  36682  dihjat1lem  36717  dochsnkr2cl  36763  lcfrvalsnN  36830  lcfrlem15  36846  mapdpglem2  36962  mapdpglem9  36969  mapdpglem12  36972  mapdpglem14  36974  mapdindp0  37008  mapdindp3  37011  hdmap11lem2  37134  hdmaprnlem3N  37142  hdmaprnlem7N  37147  hdmaprnlem8N  37148  hdmaprnlem3eN  37150  hdmaplkr  37205