Theorem ltgov 25492

Description: Strict "shorter than" geometric relation between segments. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	|- P = ( Base ` G )
legval.d	|- .- = ( dist ` G )
legval.i	|- I = (Itv ` G )
legval.l	|- .<_ = (≤G ` G )
legval.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
legso.a	|- E = ( .- " ( P X. P ) )
legso.f	|- ( ph -> Fun .- )
legso.l	|- .< = ( ( .<_ |` E ) \ _I )
legso.d	|- ( ph -> ( P X. P ) C_ dom .- )
ltgov.a	|- ( ph -> A e. P )
ltgov.b	|- ( ph -> B e. P )

Assertion

Ref	Expression
ltgov	|- ( ph -> ( ( A .- B ) .< ( C .- D ) <-> ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) /\ ( A .- B ) =/= ( C .- D ) ) ) )

Proof of Theorem ltgov

Step	Hyp	Ref	Expression
1		legso.l	. . . . 5 |- .< = ( ( .<_ |` E ) \ _I )
2	1	breqi 4659	. . . 4 |- ( ( A .- B ) .< ( C .- D ) <-> ( A .- B ) ( ( .<_ |` E ) \ _I ) ( C .- D ) )
3		brdif 4705	. . . 4 |- ( ( A .- B ) ( ( .<_ |` E ) \ _I ) ( C .- D ) <-> ( ( A .- B ) ( .<_ |` E ) ( C .- D ) /\ -. ( A .- B ) _I ( C .- D ) ) )
4	2, 3	bitri 264	. . 3 |- ( ( A .- B ) .< ( C .- D ) <-> ( ( A .- B ) ( .<_ |` E ) ( C .- D ) /\ -. ( A .- B ) _I ( C .- D ) ) )
5		ovex 6678	. . . . 5 |- ( C .- D ) e. _V
6	5	brres 5402	. . . 4 |- ( ( A .- B ) ( .<_ |` E ) ( C .- D ) <-> ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) /\ ( A .- B ) e. E ) )
7	6	anbi1i 731	. . 3 |- ( ( ( A .- B ) ( .<_ |` E ) ( C .- D ) /\ -. ( A .- B ) _I ( C .- D ) ) <-> ( ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) /\ ( A .- B ) e. E ) /\ -. ( A .- B ) _I ( C .- D ) ) )
8		anass 681	. . 3 |- ( ( ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) /\ ( A .- B ) e. E ) /\ -. ( A .- B ) _I ( C .- D ) ) <-> ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) /\ ( ( A .- B ) e. E /\ -. ( A .- B ) _I ( C .- D ) ) ) )
9	4, 7, 8	3bitri 286	. 2 |- ( ( A .- B ) .< ( C .- D ) <-> ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) /\ ( ( A .- B ) e. E /\ -. ( A .- B ) _I ( C .- D ) ) ) )
10	5	ideq 5274	. . . . 5 |- ( ( A .- B ) _I ( C .- D ) <-> ( A .- B ) = ( C .- D ) )
11	10	necon3bbii 2841	. . . 4 |- ( -. ( A .- B ) _I ( C .- D ) <-> ( A .- B ) =/= ( C .- D ) )
12		ltgov.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. P )
13		ltgov.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. P )
14		legso.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> Fun .- )
15		legso.d	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( P X. P ) C_ dom .- )
16	12, 13, 14, 15	elovimad 6693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A .- B ) e. ( .- " ( P X. P ) ) )
17		legso.a	. . . . . 6 |- E = ( .- " ( P X. P ) )
18	16, 17	syl6eleqr 2712	. . . . 5 |- ( ph -> ( A .- B ) e. E )
19	18	biantrurd 529	. . . 4 |- ( ph -> ( -. ( A .- B ) _I ( C .- D ) <-> ( ( A .- B ) e. E /\ -. ( A .- B ) _I ( C .- D ) ) ) )
20	11, 19	syl5rbbr 275	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( A .- B ) e. E /\ -. ( A .- B ) _I ( C .- D ) ) <-> ( A .- B ) =/= ( C .- D ) ) )
21	20	anbi2d 740	. 2 |- ( ph -> ( ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) /\ ( ( A .- B ) e. E /\ -. ( A .- B ) _I ( C .- D ) ) ) <-> ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) /\ ( A .- B ) =/= ( C .- D ) ) ) )
22	9, 21	syl5bb 272	1 |- ( ph -> ( ( A .- B ) .< ( C .- D ) <-> ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) /\ ( A .- B ) =/= ( C .- D ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   _I cid 5023   X. cxp 5112   dom cdm 5114   |` cres 5116   "cima 5117   Fun wfun 5882   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   distcds 15950  TarskiGcstrkg 25329  Itvcitv 25335  ≤Gcleg 25477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-fv 5896  df-ov 6653

This theorem is referenced by:  legov3  25493  legso  25494