Theorem legso 25494

Description: The shorter-than relationship builds an order over pairs. Remark 5.13 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	|- P = ( Base ` G )
legval.d	|- .- = ( dist ` G )
legval.i	|- I = (Itv ` G )
legval.l	|- .<_ = (≤G ` G )
legval.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
legso.a	|- E = ( .- " ( P X. P ) )
legso.f	|- ( ph -> Fun .- )
legso.l	|- .< = ( ( .<_ |` E ) \ _I )
legso.d	|- ( ph -> ( P X. P ) C_ dom .- )

Assertion

Ref	Expression
legso	|- ( ph -> .< Or E )

Proof of Theorem legso

Dummy variables a x y t u v z b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neirr 2803	. . . . . . 7 |- -. ( x .- y ) =/= ( x .- y )
2	1	intnan 960	. . . . . 6 |- -. ( ( x .- y ) .<_ ( x .- y ) /\ ( x .- y ) =/= ( x .- y ) )
3		legval.p	. . . . . . 7 |- P = ( Base ` G )
4		legval.d	. . . . . . 7 |- .- = ( dist ` G )
5		legval.i	. . . . . . 7 |- I = (Itv ` G )
6		legval.l	. . . . . . 7 |- .<_ = (≤G ` G )
7		legval.g	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G e. TarskiG )
8	7	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. E ) -> G e. TarskiG )
9	8	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) -> G e. TarskiG )
10		legso.a	. . . . . . 7 |- E = ( .- " ( P X. P ) )
11		legso.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Fun .- )
12	11	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. E ) -> Fun .- )
13	12	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) -> Fun .- )
14		legso.l	. . . . . . 7 |- .< = ( ( .<_ |` E ) \ _I )
15		legso.d	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( P X. P ) C_ dom .- )
16	15	ad4antr 768	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) -> ( P X. P ) C_ dom .- )
17		simpllr 799	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) -> x e. P )
18		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) -> y e. P )
19	3, 4, 5, 6, 9, 10, 13, 14, 16, 17, 18	ltgov 25492	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) -> ( ( x .- y ) .< ( x .- y ) <-> ( ( x .- y ) .<_ ( x .- y ) /\ ( x .- y ) =/= ( x .- y ) ) ) )
20	2, 19	mtbiri 317	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) -> -. ( x .- y ) .< ( x .- y ) )
21		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) -> a = ( x .- y ) )
22	21, 21	breq12d 4666	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) -> ( a .< a <-> ( x .- y ) .< ( x .- y ) ) )
23	20, 22	mtbird 315	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) -> -. a .< a )
24		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. E ) -> a e. E )
25	3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 24	ltgseg 25491	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. E ) -> E. x e. P E. y e. P a = ( x .- y ) )
26	23, 25	r19.29vva 3081	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. E ) -> -. a .< a )
27	7	ad8antr 776	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) -> G e. TarskiG )
28	27	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ c = ( u .- v ) ) -> G e. TarskiG )
29		simp-9r 817	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ c = ( u .- v ) ) -> x e. P )
30		simp-8r 815	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ c = ( u .- v ) ) -> y e. P )
31		simp-6r 811	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ c = ( u .- v ) ) -> z e. P )
32		simp-5r 809	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ c = ( u .- v ) ) -> t e. P )
33		simpllr 799	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ c = ( u .- v ) ) -> u e. P )
34		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ c = ( u .- v ) ) -> v e. P )
35		simp-10r 819	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ c = ( u .- v ) ) -> ( a .< b /\ b .< c ) )
36	35	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ c = ( u .- v ) ) -> a .< b )
37		simp-7r 813	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ c = ( u .- v ) ) -> a = ( x .- y ) )
38		simp-4r 807	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ c = ( u .- v ) ) -> b = ( z .- t ) )
39	36, 37, 38	3brtr3d 4684	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ c = ( u .- v ) ) -> ( x .- y ) .< ( z .- t ) )
40	11	ad8antr 776	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) -> Fun .- )
41	40	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ c = ( u .- v ) ) -> Fun .- )
42	15	ad8antr 776	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) -> ( P X. P ) C_ dom .- )
43	42	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ c = ( u .- v ) ) -> ( P X. P ) C_ dom .- )
44	3, 4, 5, 6, 28, 10, 41, 14, 43, 29, 30	ltgov 25492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ c = ( u .- v ) ) -> ( ( x .- y ) .< ( z .- t ) <-> ( ( x .- y ) .<_ ( z .- t ) /\ ( x .- y ) =/= ( z .- t ) ) ) )
45	39, 44	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ c = ( u .- v ) ) -> ( ( x .- y ) .<_ ( z .- t ) /\ ( x .- y ) =/= ( z .- t ) ) )
46	45	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ c = ( u .- v ) ) -> ( x .- y ) .<_ ( z .- t ) )
47	35	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ c = ( u .- v ) ) -> b .< c )
48		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ c = ( u .- v ) ) -> c = ( u .- v ) )
49	47, 38, 48	3brtr3d 4684	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ c = ( u .- v ) ) -> ( z .- t ) .< ( u .- v ) )
50	3, 4, 5, 6, 28, 10, 41, 14, 43, 31, 32	ltgov 25492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ c = ( u .- v ) ) -> ( ( z .- t ) .< ( u .- v ) <-> ( ( z .- t ) .<_ ( u .- v ) /\ ( z .- t ) =/= ( u .- v ) ) ) )
51	49, 50	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ c = ( u .- v ) ) -> ( ( z .- t ) .<_ ( u .- v ) /\ ( z .- t ) =/= ( u .- v ) ) )
52	51	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ c = ( u .- v ) ) -> ( z .- t ) .<_ ( u .- v ) )
53	3, 4, 5, 6, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 46, 52	legtrd 25484	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ c = ( u .- v ) ) -> ( x .- y ) .<_ ( u .- v ) )
54	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ c = ( u .- v ) ) /\ ( x .- y ) = ( u .- v ) ) -> G e. TarskiG )
55	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ c = ( u .- v ) ) /\ ( x .- y ) = ( u .- v ) ) -> x e. P )
56	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ c = ( u .- v ) ) /\ ( x .- y ) = ( u .- v ) ) -> y e. P )
57	31	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ c = ( u .- v ) ) /\ ( x .- y ) = ( u .- v ) ) -> z e. P )
58	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ c = ( u .- v ) ) /\ ( x .- y ) = ( u .- v ) ) -> t e. P )
59	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ c = ( u .- v ) ) /\ ( x .- y ) = ( u .- v ) ) -> ( x .- y ) .<_ ( z .- t ) )
60	52	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ c = ( u .- v ) ) /\ ( x .- y ) = ( u .- v ) ) -> ( z .- t ) .<_ ( u .- v ) )
61		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ c = ( u .- v ) ) /\ ( x .- y ) = ( u .- v ) ) -> ( x .- y ) = ( u .- v ) )
62	60, 61	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ c = ( u .- v ) ) /\ ( x .- y ) = ( u .- v ) ) -> ( z .- t ) .<_ ( x .- y ) )
63	3, 4, 5, 6, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 62	legtri3 25485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ c = ( u .- v ) ) /\ ( x .- y ) = ( u .- v ) ) -> ( x .- y ) = ( z .- t ) )
64	45	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ c = ( u .- v ) ) -> ( x .- y ) =/= ( z .- t ) )
65	64	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ c = ( u .- v ) ) /\ ( x .- y ) = ( u .- v ) ) -> ( x .- y ) =/= ( z .- t ) )
66	65	neneqd 2799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ c = ( u .- v ) ) /\ ( x .- y ) = ( u .- v ) ) -> -. ( x .- y ) = ( z .- t ) )
67	63, 66	pm2.65da 600	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ c = ( u .- v ) ) -> -. ( x .- y ) = ( u .- v ) )
68	67	neqned 2801	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ c = ( u .- v ) ) -> ( x .- y ) =/= ( u .- v ) )
69	3, 4, 5, 6, 28, 10, 41, 14, 43, 29, 30	ltgov 25492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ c = ( u .- v ) ) -> ( ( x .- y ) .< ( u .- v ) <-> ( ( x .- y ) .<_ ( u .- v ) /\ ( x .- y ) =/= ( u .- v ) ) ) )
70	53, 68, 69	mpbir2and 957	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ c = ( u .- v ) ) -> ( x .- y ) .< ( u .- v ) )
71	70, 37, 48	3brtr4d 4685	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) /\ u e. P ) /\ v e. P ) /\ c = ( u .- v ) ) -> a .< c )
72		simp-5r 809	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) -> ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) )
73	72	simp3d 1075	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) -> c e. E )
74	73	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) -> c e. E )
75	3, 4, 5, 6, 27, 10, 40, 74	ltgseg 25491	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) -> E. u e. P E. v e. P c = ( u .- v ) )
76	71, 75	r19.29vva 3081	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) -> a .< c )
77	7	ad5antr 770	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) -> G e. TarskiG )
78	11	ad5antr 770	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) -> Fun .- )
79	72	simp2d 1074	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) -> b e. E )
80	3, 4, 5, 6, 77, 10, 78, 79	ltgseg 25491	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) -> E. z e. P E. t e. P b = ( z .- t ) )
81	76, 80	r19.29vva 3081	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) -> a .< c )
82	7	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) -> G e. TarskiG )
83	11	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) -> Fun .- )
84		simplr1 1103	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) -> a e. E )
85	3, 4, 5, 6, 82, 10, 83, 84	ltgseg 25491	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) -> E. x e. P E. y e. P a = ( x .- y ) )
86	81, 85	r19.29vva 3081	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) /\ ( a .< b /\ b .< c ) ) -> a .< c )
87	86	ex 450	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E /\ c e. E ) ) -> ( ( a .< b /\ b .< c ) -> a .< c ) )
88	26, 87	ispod 5043	. 2 |- ( ph -> .< Po E )
89	7	ad8antr 776	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ b e. E ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) -> G e. TarskiG )
90		simp-6r 811	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ b e. E ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) -> x e. P )
91		simp-5r 809	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ b e. E ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) -> y e. P )
92		simpllr 799	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ b e. E ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) -> z e. P )
93		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ b e. E ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) -> t e. P )
94	3, 4, 5, 6, 89, 90, 91, 92, 93	legtrid 25486	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ b e. E ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) -> ( ( x .- y ) .<_ ( z .- t ) \/ ( z .- t ) .<_ ( x .- y ) ) )
95	11	ad8antr 776	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ b e. E ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) -> Fun .- )
96	15	ad8antr 776	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ b e. E ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) -> ( P X. P ) C_ dom .- )
97	3, 4, 5, 6, 89, 10, 95, 14, 96, 90, 91	legov3 25493	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ b e. E ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) -> ( ( x .- y ) .<_ ( z .- t ) <-> ( ( x .- y ) .< ( z .- t ) \/ ( x .- y ) = ( z .- t ) ) ) )
98	3, 4, 5, 6, 89, 10, 95, 14, 96, 92, 93	legov3 25493	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ b e. E ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) -> ( ( z .- t ) .<_ ( x .- y ) <-> ( ( z .- t ) .< ( x .- y ) \/ ( z .- t ) = ( x .- y ) ) ) )
99	97, 98	orbi12d 746	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ b e. E ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) -> ( ( ( x .- y ) .<_ ( z .- t ) \/ ( z .- t ) .<_ ( x .- y ) ) <-> ( ( ( x .- y ) .< ( z .- t ) \/ ( x .- y ) = ( z .- t ) ) \/ ( ( z .- t ) .< ( x .- y ) \/ ( z .- t ) = ( x .- y ) ) ) ) )
100	94, 99	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ b e. E ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) -> ( ( ( x .- y ) .< ( z .- t ) \/ ( x .- y ) = ( z .- t ) ) \/ ( ( z .- t ) .< ( x .- y ) \/ ( z .- t ) = ( x .- y ) ) ) )
101		eqcom 2629	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x .- y ) = ( z .- t ) <-> ( z .- t ) = ( x .- y ) )
102	101	orbi2i 541	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z .- t ) .< ( x .- y ) \/ ( x .- y ) = ( z .- t ) ) <-> ( ( z .- t ) .< ( x .- y ) \/ ( z .- t ) = ( x .- y ) ) )
103	102	orbi2i 541	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x .- y ) .< ( z .- t ) \/ ( x .- y ) = ( z .- t ) ) \/ ( ( z .- t ) .< ( x .- y ) \/ ( x .- y ) = ( z .- t ) ) ) <-> ( ( ( x .- y ) .< ( z .- t ) \/ ( x .- y ) = ( z .- t ) ) \/ ( ( z .- t ) .< ( x .- y ) \/ ( z .- t ) = ( x .- y ) ) ) )
104		df-3or 1038	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x .- y ) .< ( z .- t ) \/ ( z .- t ) .< ( x .- y ) \/ ( x .- y ) = ( z .- t ) ) <-> ( ( ( x .- y ) .< ( z .- t ) \/ ( z .- t ) .< ( x .- y ) ) \/ ( x .- y ) = ( z .- t ) ) )
105		3orcomb 1048	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x .- y ) .< ( z .- t ) \/ ( z .- t ) .< ( x .- y ) \/ ( x .- y ) = ( z .- t ) ) <-> ( ( x .- y ) .< ( z .- t ) \/ ( x .- y ) = ( z .- t ) \/ ( z .- t ) .< ( x .- y ) ) )
106		orordir 553	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x .- y ) .< ( z .- t ) \/ ( z .- t ) .< ( x .- y ) ) \/ ( x .- y ) = ( z .- t ) ) <-> ( ( ( x .- y ) .< ( z .- t ) \/ ( x .- y ) = ( z .- t ) ) \/ ( ( z .- t ) .< ( x .- y ) \/ ( x .- y ) = ( z .- t ) ) ) )
107	104, 105, 106	3bitr3ri 291	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x .- y ) .< ( z .- t ) \/ ( x .- y ) = ( z .- t ) ) \/ ( ( z .- t ) .< ( x .- y ) \/ ( x .- y ) = ( z .- t ) ) ) <-> ( ( x .- y ) .< ( z .- t ) \/ ( x .- y ) = ( z .- t ) \/ ( z .- t ) .< ( x .- y ) ) )
108	103, 107	bitr3i 266	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x .- y ) .< ( z .- t ) \/ ( x .- y ) = ( z .- t ) ) \/ ( ( z .- t ) .< ( x .- y ) \/ ( z .- t ) = ( x .- y ) ) ) <-> ( ( x .- y ) .< ( z .- t ) \/ ( x .- y ) = ( z .- t ) \/ ( z .- t ) .< ( x .- y ) ) )
109	100, 108	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ b e. E ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) -> ( ( x .- y ) .< ( z .- t ) \/ ( x .- y ) = ( z .- t ) \/ ( z .- t ) .< ( x .- y ) ) )
110		simp-4r 807	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ b e. E ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) -> a = ( x .- y ) )
111		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ b e. E ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) -> b = ( z .- t ) )
112	110, 111	breq12d 4666	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ b e. E ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) -> ( a .< b <-> ( x .- y ) .< ( z .- t ) ) )
113	110, 111	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ b e. E ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) -> ( a = b <-> ( x .- y ) = ( z .- t ) ) )
114	111, 110	breq12d 4666	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ b e. E ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) -> ( b .< a <-> ( z .- t ) .< ( x .- y ) ) )
115	112, 113, 114	3orbi123d 1398	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ b e. E ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) -> ( ( a .< b \/ a = b \/ b .< a ) <-> ( ( x .- y ) .< ( z .- t ) \/ ( x .- y ) = ( z .- t ) \/ ( z .- t ) .< ( x .- y ) ) ) )
116	109, 115	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ b e. E ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) /\ z e. P ) /\ t e. P ) /\ b = ( z .- t ) ) -> ( a .< b \/ a = b \/ b .< a ) )
117	7	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ b e. E ) -> G e. TarskiG )
118	11	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ b e. E ) -> Fun .- )
119		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ b e. E ) -> b e. E )
120	3, 4, 5, 6, 117, 10, 118, 119	ltgseg 25491	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ b e. E ) -> E. z e. P E. t e. P b = ( z .- t ) )
121	120	ad3antrrr 766	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ b e. E ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) -> E. z e. P E. t e. P b = ( z .- t ) )
122	116, 121	r19.29vva 3081	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ b e. E ) /\ x e. P ) /\ y e. P ) /\ a = ( x .- y ) ) -> ( a .< b \/ a = b \/ b .< a ) )
123	25	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ b e. E ) -> E. x e. P E. y e. P a = ( x .- y ) )
124	122, 123	r19.29vva 3081	. . 3 |- ( ( ( ph /\ a e. E ) /\ b e. E ) -> ( a .< b \/ a = b \/ b .< a ) )
125	124	anasss 679	. 2 |- ( ( ph /\ ( a e. E /\ b e. E ) ) -> ( a .< b \/ a = b \/ b .< a ) )
126	88, 125	issod 5065	1 |- ( ph -> .< Or E )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   \ cdif 3571   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   _I cid 5023   Or wor 5034   X. cxp 5112   dom cdm 5114   |` cres 5116   "cima 5117   Fun wfun 5882   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   distcds 15950  TarskiGcstrkg 25329  Itvcitv 25335  ≤Gcleg 25477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-s2 13593  df-s3 13594  df-trkgc 25347  df-trkgb 25348  df-trkgcb 25349  df-trkg 25352  df-cgrg 25406  df-leg 25478

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