Theorem ltrncl 35411

Description: Closure of a lattice translation. (Contributed by NM, 20-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrn1o.b	|- B = ( Base ` K )
ltrn1o.h	|- H = ( LHyp ` K )
ltrn1o.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )

Assertion

Ref	Expression
ltrncl	|- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ F e. T /\ X e. B ) -> ( F ` X ) e. B )

Proof of Theorem ltrncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1085	. 2 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ F e. T /\ X e. B ) -> K e. V )
2		ltrn1o.h	. . . 4 |- H = ( LHyp ` K )
3		eqid 2622	. . . 4 |- ( LAut ` K ) = ( LAut ` K )
4		ltrn1o.t	. . . 4 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
5	2, 3, 4	ltrnlaut 35409	. . 3 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> F e. ( LAut ` K ) )
6	5	3adant3 1081	. 2 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ F e. T /\ X e. B ) -> F e. ( LAut ` K ) )
7		simp3 1063	. 2 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ F e. T /\ X e. B ) -> X e. B )
8		ltrn1o.b	. . 3 |- B = ( Base ` K )
9	8, 3	lautcl 35373	. 2 |- ( ( ( K e. V /\ F e. ( LAut ` K ) ) /\ X e. B ) -> ( F ` X ) e. B )
10	1, 6, 7, 9	syl21anc 1325	1 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ F e. T /\ X e. B ) -> ( F ` X ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888   Basecbs 15857   LHypclh 35270   LAutclaut 35271   LTrncltrn 35387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391

This theorem is referenced by:  ltrnatb  35423  ltrneq2  35434  trlval2  35450  trlcl  35451  trljat1  35453  trljat2  35454  trlle  35471  cdlemc4  35481  cdlemc5  35482  cdlemd7  35491  cdlemg4c  35900  cdlemg7N  35914  cdlemg8b  35916  cdlemg11b  35930  trlcolem  36014  cdlemg44a  36019  cdlemi1  36106  cdlemi  36108  cdlemkvcl  36130  cdlemkid1  36210  cdlemm10N  36407  dih1dimatlem  36618