Theorem ltrnatb 35423

Description: The lattice translation of an atom is an atom. (Contributed by NM, 20-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrnatb.b	|- B = ( Base ` K )
ltrnatb.a	|- A = ( Atoms ` K )
ltrnatb.h	|- H = ( LHyp ` K )
ltrnatb.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )

Assertion

Ref	Expression
ltrnatb	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ P e. B ) -> ( P e. A <-> ( F ` P ) e. A ) )

Proof of Theorem ltrnatb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1063	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ P e. B ) -> P e. B )
2		ltrnatb.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` K )
3		ltrnatb.h	. . . . 5 |- H = ( LHyp ` K )
4		ltrnatb.t	. . . . 5 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
5	2, 3, 4	ltrncl 35411	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ P e. B ) -> ( F ` P ) e. B )
6	1, 5	2thd 255	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ P e. B ) -> ( P e. B <-> ( F ` P ) e. B ) )
7		simp1 1061	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ P e. B ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
8		simp2 1062	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ P e. B ) -> F e. T )
9		simp1l 1085	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ P e. B ) -> K e. HL )
10		hlop 34649	. . . . . 6 |- ( K e. HL -> K e. OP )
11		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( 0. ` K ) = ( 0. ` K )
12	2, 11	op0cl 34471	. . . . . 6 |- ( K e. OP -> ( 0. ` K ) e. B )
13	9, 10, 12	3syl 18	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ P e. B ) -> ( 0. ` K ) e. B )
14		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( <o ` K ) = ( <o ` K )
15	2, 14, 3, 4	ltrncvr 35419	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( 0. ` K ) e. B /\ P e. B ) ) -> ( ( 0. ` K ) ( <o ` K ) P <-> ( F ` ( 0. ` K ) ) ( <o ` K ) ( F ` P ) ) )
16	7, 8, 13, 1, 15	syl112anc 1330	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ P e. B ) -> ( ( 0. ` K ) ( <o ` K ) P <-> ( F ` ( 0. ` K ) ) ( <o ` K ) ( F ` P ) ) )
17	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ P e. B ) -> K e. OP )
18		simp1r 1086	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ P e. B ) -> W e. H )
19	2, 3	lhpbase 35284	. . . . . . . 8 |- ( W e. H -> W e. B )
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ P e. B ) -> W e. B )
21		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
22	2, 21, 11	op0le 34473	. . . . . . 7 |- ( ( K e. OP /\ W e. B ) -> ( 0. ` K ) ( le ` K ) W )
23	17, 20, 22	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ P e. B ) -> ( 0. ` K ) ( le ` K ) W )
24	2, 21, 3, 4	ltrnval1 35420	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( 0. ` K ) e. B /\ ( 0. ` K ) ( le ` K ) W ) ) -> ( F ` ( 0. ` K ) ) = ( 0. ` K ) )
25	7, 8, 13, 23, 24	syl112anc 1330	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ P e. B ) -> ( F ` ( 0. ` K ) ) = ( 0. ` K ) )
26	25	breq1d 4663	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ P e. B ) -> ( ( F ` ( 0. ` K ) ) ( <o ` K ) ( F ` P ) <-> ( 0. ` K ) ( <o ` K ) ( F ` P ) ) )
27	16, 26	bitrd 268	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ P e. B ) -> ( ( 0. ` K ) ( <o ` K ) P <-> ( 0. ` K ) ( <o ` K ) ( F ` P ) ) )
28	6, 27	anbi12d 747	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ P e. B ) -> ( ( P e. B /\ ( 0. ` K ) ( <o ` K ) P ) <-> ( ( F ` P ) e. B /\ ( 0. ` K ) ( <o ` K ) ( F ` P ) ) ) )
29		ltrnatb.a	. . . 4 |- A = ( Atoms ` K )
30	2, 11, 14, 29	isat 34573	. . 3 |- ( K e. HL -> ( P e. A <-> ( P e. B /\ ( 0. ` K ) ( <o ` K ) P ) ) )
31	9, 30	syl 17	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ P e. B ) -> ( P e. A <-> ( P e. B /\ ( 0. ` K ) ( <o ` K ) P ) ) )
32	2, 11, 14, 29	isat 34573	. . 3 |- ( K e. HL -> ( ( F ` P ) e. A <-> ( ( F ` P ) e. B /\ ( 0. ` K ) ( <o ` K ) ( F ` P ) ) ) )
33	9, 32	syl 17	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ P e. B ) -> ( ( F ` P ) e. A <-> ( ( F ` P ) e. B /\ ( 0. ` K ) ( <o ` K ) ( F ` P ) ) ) )
34	28, 31, 33	3bitr4d 300	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ P e. B ) -> ( P e. A <-> ( F ` P ) e. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lecple 15948   0.cp0 17037   OPcops 34459   <o ccvr 34549   Atomscatm 34550   HLchlt 34637   LHypclh 35270   LTrncltrn 35387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-plt 16958  df-glb 16975  df-p0 17039  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-hlat 34638  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391

This theorem is referenced by:  ltrncnvatb  35424  ltrnel  35425  ltrnat  35426