Theorem ltrncnvatb 35424

Description: The converse of the lattice translation of an atom is an atom. (Contributed by NM, 2-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrnatb.b	|- B = ( Base ` K )
ltrnatb.a	|- A = ( Atoms ` K )
ltrnatb.h	|- H = ( LHyp ` K )
ltrnatb.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )

Assertion

Ref	Expression
ltrncnvatb	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ P e. B ) -> ( P e. A <-> ( `' F ` P ) e. A ) )

Proof of Theorem ltrncnvatb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrnatb.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` K )
2		ltrnatb.h	. . . . 5 |- H = ( LHyp ` K )
3		ltrnatb.t	. . . . 5 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
4	1, 2, 3	ltrn1o 35410	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> F : B -1-1-onto-> B )
5		f1ocnvdm 6540	. . . 4 |- ( ( F : B -1-1-onto-> B /\ P e. B ) -> ( `' F ` P ) e. B )
6	4, 5	stoic3 1701	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ P e. B ) -> ( `' F ` P ) e. B )
7		ltrnatb.a	. . . 4 |- A = ( Atoms ` K )
8	1, 7, 2, 3	ltrnatb 35423	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( `' F ` P ) e. B ) -> ( ( `' F ` P ) e. A <-> ( F ` ( `' F ` P ) ) e. A ) )
9	6, 8	syld3an3 1371	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ P e. B ) -> ( ( `' F ` P ) e. A <-> ( F ` ( `' F ` P ) ) e. A ) )
10		f1ocnvfv2 6533	. . . 4 |- ( ( F : B -1-1-onto-> B /\ P e. B ) -> ( F ` ( `' F ` P ) ) = P )
11	4, 10	stoic3 1701	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ P e. B ) -> ( F ` ( `' F ` P ) ) = P )
12	11	eleq1d 2686	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ P e. B ) -> ( ( F ` ( `' F ` P ) ) e. A <-> P e. A ) )
13	9, 12	bitr2d 269	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ P e. B ) -> ( P e. A <-> ( `' F ` P ) e. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   `'ccnv 5113   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   Basecbs 15857   Atomscatm 34550   HLchlt 34637   LHypclh 35270   LTrncltrn 35387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-plt 16958  df-glb 16975  df-p0 17039  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-hlat 34638  df-lhyp 35274  df-laut 35275  df-ldil 35390  df-ltrn 35391

This theorem is referenced by:  ltrncnvat  35427