Theorem mapsnd 39388

Description: The value of set exponentiation with a singleton exponent. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapsnd.1	|- ( ph -> A e. V )
mapsnd.2	|- ( ph -> B e. W )

Assertion

Ref	Expression
mapsnd	|- ( ph -> ( A ^m { B } ) = { f | E. y e. A f = { <. B , y >. } } )

Distinct variable groups:   A, f, y   B, f, y   ph, f, y

Allowed substitution hints:   V( y, f)   W( y, f)

Proof of Theorem mapsnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapsnd.1	. . . 4 |- ( ph -> A e. V )
2		mapsnd.2	. . . . 5 |- ( ph -> B e. W )
3		snex 4908	. . . . . 6 |- { B } e. _V
4	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( B e. W -> { B } e. _V )
5	2, 4	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> { B } e. _V )
6		elmapg 7870	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ { B } e. _V ) -> ( f e. ( A ^m { B } ) <-> f : { B } --> A ) )
7	1, 5, 6	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( f e. ( A ^m { B } ) <-> f : { B } --> A ) )
8		ffn 6045	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : { B } --> A -> f Fn { B } )
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( f : { B } --> A -> f Fn { B } ) )
10	9	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f : { B } --> A ) -> f Fn { B } )
11		snidg 4206	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. W -> B e. { B } )
12	2, 11	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. { B } )
13	12	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f : { B } --> A ) -> B e. { B } )
14		fneu 5995	. . . . . . . . 9 |- ( ( f Fn { B } /\ B e. { B } ) -> E! y B f y )
15	10, 13, 14	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f : { B } --> A ) -> E! y B f y )
16		euabsn 4261	. . . . . . . . . 10 |- ( E! y B f y <-> E. y { y | B f y } = { y } )
17		frel 6050	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : { B } --> A -> Rel f )
18		relimasn 5488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Rel f -> ( f " { B } ) = { y | B f y } )
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : { B } --> A -> ( f " { B } ) = { y | B f y } )
20		imadmrn 5476	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f " dom f ) = ran f
21		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : { B } --> A -> dom f = { B } )
22	21	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : { B } --> A -> ( f " dom f ) = ( f " { B } ) )
23	20, 22	syl5reqr 2671	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : { B } --> A -> ( f " { B } ) = ran f )
24	19, 23	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : { B } --> A -> { y | B f y } = ran f )
25	24	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : { B } --> A -> ( { y | B f y } = { y } <-> ran f = { y } ) )
26	25	exbidv 1850	. . . . . . . . . 10 |- ( f : { B } --> A -> ( E. y { y | B f y } = { y } <-> E. y ran f = { y } ) )
27	16, 26	syl5bb 272	. . . . . . . . 9 |- ( f : { B } --> A -> ( E! y B f y <-> E. y ran f = { y } ) )
28	27	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f : { B } --> A ) -> ( E! y B f y <-> E. y ran f = { y } ) )
29	15, 28	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f : { B } --> A ) -> E. y ran f = { y } )
30		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- y e. _V
31	30	snid 4208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. { y }
32		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ran f = { y } -> ( y e. ran f <-> y e. { y } ) )
33	31, 32	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ran f = { y } -> y e. ran f )
34		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : { B } --> A -> ran f C_ A )
35	34	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : { B } --> A -> ( y e. ran f -> y e. A ) )
36	33, 35	syl5 34	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : { B } --> A -> ( ran f = { y } -> y e. A ) )
37	36	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : { B } --> A /\ ran f = { y } ) -> y e. A )
38	37	adantll 750	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f : { B } --> A ) /\ ran f = { y } ) -> y e. A )
39		dffn4 6121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f Fn { B } <-> f : { B } -onto-> ran f )
40	8, 39	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : { B } --> A -> f : { B } -onto-> ran f )
41		fof 6115	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : { B } -onto-> ran f -> f : { B } --> ran f )
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : { B } --> A -> f : { B } --> ran f )
43		feq3 6028	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ran f = { y } -> ( f : { B } --> ran f <-> f : { B } --> { y } ) )
44	42, 43	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : { B } --> A -> ( ran f = { y } -> f : { B } --> { y } ) )
45	44	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : { B } --> A /\ ran f = { y } ) -> f : { B } --> { y } )
46	45	adantll 750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f : { B } --> A ) /\ ran f = { y } ) -> f : { B } --> { y } )
47	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f : { B } --> A ) /\ ran f = { y } ) -> B e. W )
48	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ f : { B } --> A ) /\ ran f = { y } ) -> y e. _V )
49		fsng 6404	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. W /\ y e. _V ) -> ( f : { B } --> { y } <-> f = { <. B , y >. } ) )
50	47, 48, 49	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f : { B } --> A ) /\ ran f = { y } ) -> ( f : { B } --> { y } <-> f = { <. B , y >. } ) )
51	46, 50	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f : { B } --> A ) /\ ran f = { y } ) -> f = { <. B , y >. } )
52	38, 51	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f : { B } --> A ) /\ ran f = { y } ) -> ( y e. A /\ f = { <. B , y >. } ) )
53	52	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f : { B } --> A ) -> ( ran f = { y } -> ( y e. A /\ f = { <. B , y >. } ) ) )
54	53	eximdv 1846	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f : { B } --> A ) -> ( E. y ran f = { y } -> E. y ( y e. A /\ f = { <. B , y >. } ) ) )
55	29, 54	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f : { B } --> A ) -> E. y ( y e. A /\ f = { <. B , y >. } ) )
56		df-rex 2918	. . . . . 6 |- ( E. y e. A f = { <. B , y >. } <-> E. y ( y e. A /\ f = { <. B , y >. } ) )
57	55, 56	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f : { B } --> A ) -> E. y e. A f = { <. B , y >. } )
58	57	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( f : { B } --> A -> E. y e. A f = { <. B , y >. } ) )
59	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> y e. _V )
60		f1osng 6177	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. W /\ y e. _V ) -> { <. B , y >. } : { B } -1-1-onto-> { y } )
61	2, 59, 60	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> { <. B , y >. } : { B } -1-1-onto-> { y } )
62	61	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f = { <. B , y >. } ) -> { <. B , y >. } : { B } -1-1-onto-> { y } )
63		f1oeq1 6127	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = { <. B , y >. } -> ( f : { B } -1-1-onto-> { y } <-> { <. B , y >. } : { B } -1-1-onto-> { y } ) )
64	63	bicomd 213	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = { <. B , y >. } -> ( { <. B , y >. } : { B } -1-1-onto-> { y } <-> f : { B } -1-1-onto-> { y } ) )
65	64	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ f = { <. B , y >. } ) -> ( { <. B , y >. } : { B } -1-1-onto-> { y } <-> f : { B } -1-1-onto-> { y } ) )
66	62, 65	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f = { <. B , y >. } ) -> f : { B } -1-1-onto-> { y } )
67		f1of 6137	. . . . . . . . 9 |- ( f : { B } -1-1-onto-> { y } -> f : { B } --> { y } )
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f = { <. B , y >. } ) -> f : { B } --> { y } )
69	68	3adant2 1080	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. A /\ f = { <. B , y >. } ) -> f : { B } --> { y } )
70		snssi 4339	. . . . . . . 8 |- ( y e. A -> { y } C_ A )
71	70	3ad2ant2 1083	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. A /\ f = { <. B , y >. } ) -> { y } C_ A )
72		fss 6056	. . . . . . 7 |- ( ( f : { B } --> { y } /\ { y } C_ A ) -> f : { B } --> A )
73	69, 71, 72	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. A /\ f = { <. B , y >. } ) -> f : { B } --> A )
74	73	3exp 1264	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. A -> ( f = { <. B , y >. } -> f : { B } --> A ) ) )
75	74	rexlimdv 3030	. . . 4 |- ( ph -> ( E. y e. A f = { <. B , y >. } -> f : { B } --> A ) )
76	58, 75	impbid 202	. . 3 |- ( ph -> ( f : { B } --> A <-> E. y e. A f = { <. B , y >. } ) )
77	7, 76	bitrd 268	. 2 |- ( ph -> ( f e. ( A ^m { B } ) <-> E. y e. A f = { <. B , y >. } ) )
78	77	abbi2dv 2742	1 |- ( ph -> ( A ^m { B } ) = { f | E. y e. A f = { <. B , y >. } } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E!weu 2470   {cab 2608   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {csn 4177   <.cop 4183   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Rel wrel 5119   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859

This theorem is referenced by:  mapsnend  39391  iunmapsn  39409