Theorem iunmapsn 39409

Description: The indexed union of set exponentiations to a singleton is equal to the set exponentiation of the indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iunmapsn.x	|- F/ x ph
iunmapsn.a	|- ( ph -> A e. V )
iunmapsn.b	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. W )
iunmapsn.c	|- ( ph -> C e. Z )

Assertion

Ref	Expression
iunmapsn	|- ( ph -> U_ x e. A ( B ^m { C } ) = ( U_ x e. A B ^m { C } ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, C

Allowed substitution hints:   ph( x)   B( x)   V( x)   W( x)   Z( x)

Proof of Theorem iunmapsn

Dummy variables f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunmapsn.x	. . 3 |- F/ x ph
2		iunmapsn.a	. . 3 |- ( ph -> A e. V )
3		iunmapsn.b	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. W )
4	1, 2, 3	iunmapss 39407	. 2 |- ( ph -> U_ x e. A ( B ^m { C } ) C_ ( U_ x e. A B ^m { C } ) )
5		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. ( U_ x e. A B ^m { C } ) ) -> f e. ( U_ x e. A B ^m { C } ) )
6	3	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. A -> B e. W ) )
7	1, 6	ralrimi 2957	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. A B e. W )
8		iunexg 7143	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A B e. W ) -> U_ x e. A B e. _V )
9	2, 7, 8	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U_ x e. A B e. _V )
10		iunmapsn.c	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. Z )
11	9, 10	mapsnd 39388	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( U_ x e. A B ^m { C } ) = { f | E. y e. U_ x e. A B f = { <. C , y >. } } )
12	11	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f e. ( U_ x e. A B ^m { C } ) ) -> ( U_ x e. A B ^m { C } ) = { f | E. y e. U_ x e. A B f = { <. C , y >. } } )
13	5, 12	eleqtrd 2703	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. ( U_ x e. A B ^m { C } ) ) -> f e. { f | E. y e. U_ x e. A B f = { <. C , y >. } } )
14		abid 2610	. . . . . . 7 |- ( f e. { f | E. y e. U_ x e. A B f = { <. C , y >. } } <-> E. y e. U_ x e. A B f = { <. C , y >. } )
15	13, 14	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. ( U_ x e. A B ^m { C } ) ) -> E. y e. U_ x e. A B f = { <. C , y >. } )
16		eliun 4524	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. U_ x e. A B <-> E. x e. A y e. B )
17	16	biimpi 206	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. U_ x e. A B -> E. x e. A y e. B )
18	17	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. U_ x e. A B /\ f = { <. C , y >. } ) -> E. x e. A y e. B )
19		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x y
20		nfiu1 4550	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x U_ x e. A B
21	19, 20	nfel 2777	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x y e. U_ x e. A B
22		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x f = { <. C , y >. }
23	1, 21, 22	nf3an 1831	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x ( ph /\ y e. U_ x e. A B /\ f = { <. C , y >. } )
24		rspe 3003	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. B /\ f = { <. C , y >. } ) -> E. y e. B f = { <. C , y >. } )
25	24	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( f = { <. C , y >. } /\ y e. B ) -> E. y e. B f = { <. C , y >. } )
26		abid 2610	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f e. { f | E. y e. B f = { <. C , y >. } } <-> E. y e. B f = { <. C , y >. } )
27	25, 26	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f = { <. C , y >. } /\ y e. B ) -> f e. { f | E. y e. B f = { <. C , y >. } } )
28	27	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ f = { <. C , y >. } ) /\ y e. B ) -> f e. { f | E. y e. B f = { <. C , y >. } } )
29	28	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f = { <. C , y >. } ) /\ x e. A /\ y e. B ) -> f e. { f | E. y e. B f = { <. C , y >. } } )
30	10	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. Z )
31	3, 30	mapsnd 39388	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( B ^m { C } ) = { f | E. y e. B f = { <. C , y >. } } )
32	31	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> { f | E. y e. B f = { <. C , y >. } } = ( B ^m { C } ) )
33	32	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. A /\ y e. B ) -> { f | E. y e. B f = { <. C , y >. } } = ( B ^m { C } ) )
34	33	3adant1r 1319	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ f = { <. C , y >. } ) /\ x e. A /\ y e. B ) -> { f | E. y e. B f = { <. C , y >. } } = ( B ^m { C } ) )
35	29, 34	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ f = { <. C , y >. } ) /\ x e. A /\ y e. B ) -> f e. ( B ^m { C } ) )
36	35	3exp 1264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f = { <. C , y >. } ) -> ( x e. A -> ( y e. B -> f e. ( B ^m { C } ) ) ) )
37	36	3adant2 1080	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. U_ x e. A B /\ f = { <. C , y >. } ) -> ( x e. A -> ( y e. B -> f e. ( B ^m { C } ) ) ) )
38	23, 37	reximdai 3012	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. U_ x e. A B /\ f = { <. C , y >. } ) -> ( E. x e. A y e. B -> E. x e. A f e. ( B ^m { C } ) ) )
39	18, 38	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. U_ x e. A B /\ f = { <. C , y >. } ) -> E. x e. A f e. ( B ^m { C } ) )
40	39	3exp 1264	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y e. U_ x e. A B -> ( f = { <. C , y >. } -> E. x e. A f e. ( B ^m { C } ) ) ) )
41	40	rexlimdv 3030	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. y e. U_ x e. A B f = { <. C , y >. } -> E. x e. A f e. ( B ^m { C } ) ) )
42	41	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f e. ( U_ x e. A B ^m { C } ) ) -> ( E. y e. U_ x e. A B f = { <. C , y >. } -> E. x e. A f e. ( B ^m { C } ) ) )
43	15, 42	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. ( U_ x e. A B ^m { C } ) ) -> E. x e. A f e. ( B ^m { C } ) )
44		eliun 4524	. . . . 5 |- ( f e. U_ x e. A ( B ^m { C } ) <-> E. x e. A f e. ( B ^m { C } ) )
45	43, 44	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. ( U_ x e. A B ^m { C } ) ) -> f e. U_ x e. A ( B ^m { C } ) )
46	45	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. f e. ( U_ x e. A B ^m { C } ) f e. U_ x e. A ( B ^m { C } ) )
47		dfss3 3592	. . 3 |- ( ( U_ x e. A B ^m { C } ) C_ U_ x e. A ( B ^m { C } ) <-> A. f e. ( U_ x e. A B ^m { C } ) f e. U_ x e. A ( B ^m { C } ) )
48	46, 47	sylibr 224	. 2 |- ( ph -> ( U_ x e. A B ^m { C } ) C_ U_ x e. A ( B ^m { C } ) )
49	4, 48	eqssd 3620	1 |- ( ph -> U_ x e. A ( B ^m { C } ) = ( U_ x e. A B ^m { C } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {csn 4177   <.cop 4183   U_ciun 4520  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859

This theorem is referenced by:  ovnovollem1  40870  ovnovollem2  40871