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Theorem mavmuldm 20356
Description: The domain of the matrix vector multiplication function. (Contributed by AV, 27-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mavmuldm.b |- B = ( Base ` R )
mavmuldm.c |- C = ( B ^m ( M X. N ) )
mavmuldm.d |- D = ( B ^m N )
mavmuldm.t |- .x. = ( R maVecMul <. M , N >. )
Assertion
Ref Expression
mavmuldm |- ( ( R e. V /\ M e. Fin /\ N e. Fin ) -> dom .x. = ( C X. D ) )
Proof of Theorem mavmuldm
Dummy variables x y i j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mavmuldm.t . . . 4 |- .x. = ( R maVecMul <. M , N >. )
2 mavmuldm.b . . . 4 |- B = ( Base ` R )
3 eqid 2622 . . . 4 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
4 simp1 1061 . . . 4 |- ( ( R e. V /\ M e. Fin /\ N e. Fin ) -> R e. V )
5 simp2 1062 . . . 4 |- ( ( R e. V /\ M e. Fin /\ N e. Fin ) -> M e. Fin )
6 simp3 1063 . . . 4 |- ( ( R e. V /\ M e. Fin /\ N e. Fin ) -> N e. Fin )
71, 2, 3, 4, 5, 6mvmulfval 20348 . . 3 |- ( ( R e. V /\ M e. Fin /\ N e. Fin ) -> .x. = ( x e. ( B ^m ( M X. N ) ) , y e. ( B ^m N ) |-> ( i e. M |-> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i x j ) ( .r ` R ) ( y ` j ) ) ) ) ) ) )
87dmeqd 5326 . 2 |- ( ( R e. V /\ M e. Fin /\ N e. Fin ) -> dom .x. = dom ( x e. ( B ^m ( M X. N ) ) , y e. ( B ^m N ) |-> ( i e. M |-> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i x j ) ( .r ` R ) ( y ` j ) ) ) ) ) ) )
9 mptexg 6484 . . . . . 6 |- ( M e. Fin -> ( i e. M |-> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i x j ) ( .r ` R ) ( y ` j ) ) ) ) ) e. _V )
1093ad2ant2 1083 . . . . 5 |- ( ( R e. V /\ M e. Fin /\ N e. Fin ) -> ( i e. M |-> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i x j ) ( .r ` R ) ( y ` j ) ) ) ) ) e. _V )
1110a1d 25 . . . 4 |- ( ( R e. V /\ M e. Fin /\ N e. Fin ) -> ( ( x e. ( B ^m ( M X. N ) ) /\ y e. ( B ^m N ) ) -> ( i e. M |-> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i x j ) ( .r ` R ) ( y ` j ) ) ) ) ) e. _V ) )
1211ralrimivv 2970 . . 3 |- ( ( R e. V /\ M e. Fin /\ N e. Fin ) -> A. x e. ( B ^m ( M X. N ) ) A. y e. ( B ^m N ) ( i e. M |-> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i x j ) ( .r ` R ) ( y ` j ) ) ) ) ) e. _V )
13 eqid 2622 . . . 4 |- ( x e. ( B ^m ( M X. N ) ) , y e. ( B ^m N ) |-> ( i e. M |-> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i x j ) ( .r ` R ) ( y ` j ) ) ) ) ) ) = ( x e. ( B ^m ( M X. N ) ) , y e. ( B ^m N ) |-> ( i e. M |-> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i x j ) ( .r ` R ) ( y ` j ) ) ) ) ) )
1413dmmpt2ga 7242 . . 3 |- ( A. x e. ( B ^m ( M X. N ) ) A. y e. ( B ^m N ) ( i e. M |-> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i x j ) ( .r ` R ) ( y ` j ) ) ) ) ) e. _V -> dom ( x e. ( B ^m ( M X. N ) ) , y e. ( B ^m N ) |-> ( i e. M |-> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i x j ) ( .r ` R ) ( y ` j ) ) ) ) ) ) = ( ( B ^m ( M X. N ) ) X. ( B ^m N ) ) )
1512, 14syl 17 . 2 |- ( ( R e. V /\ M e. Fin /\ N e. Fin ) -> dom ( x e. ( B ^m ( M X. N ) ) , y e. ( B ^m N ) |-> ( i e. M |-> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i x j ) ( .r ` R ) ( y ` j ) ) ) ) ) ) = ( ( B ^m ( M X. N ) ) X. ( B ^m N ) ) )
16 mavmuldm.c . . . . 5 |- C = ( B ^m ( M X. N ) )
1716eqcomi 2631 . . . 4 |- ( B ^m ( M X. N ) ) = C
1817a1i 11 . . 3 |- ( ( R e. V /\ M e. Fin /\ N e. Fin ) -> ( B ^m ( M X. N ) ) = C )
19 mavmuldm.d . . . . 5 |- D = ( B ^m N )
2019a1i 11 . . . 4 |- ( ( R e. V /\ M e. Fin /\ N e. Fin ) -> D = ( B ^m N ) )
2120eqcomd 2628 . . 3 |- ( ( R e. V /\ M e. Fin /\ N e. Fin ) -> ( B ^m N ) = D )
2218, 21xpeq12d 5140 . 2 |- ( ( R e. V /\ M e. Fin /\ N e. Fin ) -> ( ( B ^m ( M X. N ) ) X. ( B ^m N ) ) = ( C X. D ) )
238, 15, 223eqtrd 2660 1 |- ( ( R e. V /\ M e. Fin /\ N e. Fin ) -> dom .x. = ( C X. D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   <.cop 4183   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   gsumg cgsu 16101   maVecMul cmvmul 20346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-mvmul 20347
This theorem is referenced by:  mavmulsolcl  20357
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