Theorem mavmulass 20355

Description: Associativity of the multiplication of two NxN matrices with an N-dimensional vector. (Contributed by AV, 9-Feb-2019.) (Revised by AV, 25-Feb-2019.) (Proof shortened by AV, 22-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
1mavmul.a	|- A = ( N Mat R )
1mavmul.b	|- B = ( Base ` R )
1mavmul.t	|- .x. = ( R maVecMul <. N , N >. )
1mavmul.r	|- ( ph -> R e. Ring )
1mavmul.n	|- ( ph -> N e. Fin )
1mavmul.y	|- ( ph -> Y e. ( B ^m N ) )
mavmulass.m	|- .X. = ( R maMul <. N , N , N >. )
mavmulass.x	|- ( ph -> X e. ( Base ` A ) )
mavmulass.z	|- ( ph -> Z e. ( Base ` A ) )

Assertion

Ref	Expression
mavmulass	|- ( ph -> ( ( X .X. Z ) .x. Y ) = ( X .x. ( Z .x. Y ) ) )

Proof of Theorem mavmulass

Dummy variables i j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1mavmul.a	. . . 4 |- A = ( N Mat R )
2		1mavmul.t	. . . 4 |- .x. = ( R maVecMul <. N , N >. )
3		1mavmul.b	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
4		eqid 2622	. . . 4 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
5		1mavmul.r	. . . 4 |- ( ph -> R e. Ring )
6		1mavmul.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. Fin )
7		mavmulass.m	. . . . . 6 |- .X. = ( R maMul <. N , N , N >. )
8		mavmulass.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. ( Base ` A ) )
9	1, 3	matbas2 20227	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( B ^m ( N X. N ) ) = ( Base ` A ) )
10	6, 5, 9	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B ^m ( N X. N ) ) = ( Base ` A ) )
11	8, 10	eleqtrrd 2704	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. ( B ^m ( N X. N ) ) )
12		mavmulass.z	. . . . . . 7 |- ( ph -> Z e. ( Base ` A ) )
13	12, 10	eleqtrrd 2704	. . . . . 6 |- ( ph -> Z e. ( B ^m ( N X. N ) ) )
14	3, 5, 7, 6, 6, 6, 11, 13	mamucl 20207	. . . . 5 |- ( ph -> ( X .X. Z ) e. ( B ^m ( N X. N ) ) )
15	14, 10	eleqtrd 2703	. . . 4 |- ( ph -> ( X .X. Z ) e. ( Base ` A ) )
16		1mavmul.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. ( B ^m N ) )
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 15, 16	mavmulcl 20353	. . 3 |- ( ph -> ( ( X .X. Z ) .x. Y ) e. ( B ^m N ) )
18		elmapi 7879	. . 3 |- ( ( ( X .X. Z ) .x. Y ) e. ( B ^m N ) -> ( ( X .X. Z ) .x. Y ) : N --> B )
19		ffn 6045	. . 3 |- ( ( ( X .X. Z ) .x. Y ) : N --> B -> ( ( X .X. Z ) .x. Y ) Fn N )
20	17, 18, 19	3syl 18	. 2 |- ( ph -> ( ( X .X. Z ) .x. Y ) Fn N )
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 16	mavmulcl 20353	. . . 4 |- ( ph -> ( Z .x. Y ) e. ( B ^m N ) )
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 21	mavmulcl 20353	. . 3 |- ( ph -> ( X .x. ( Z .x. Y ) ) e. ( B ^m N ) )
23		elmapi 7879	. . 3 |- ( ( X .x. ( Z .x. Y ) ) e. ( B ^m N ) -> ( X .x. ( Z .x. Y ) ) : N --> B )
24		ffn 6045	. . 3 |- ( ( X .x. ( Z .x. Y ) ) : N --> B -> ( X .x. ( Z .x. Y ) ) Fn N )
25	22, 23, 24	3syl 18	. 2 |- ( ph -> ( X .x. ( Z .x. Y ) ) Fn N )
26		ringcmn 18581	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> R e. CMnd )
27	5, 26	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. CMnd )
28	27	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> R e. CMnd )
29	6	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> N e. Fin )
30	5	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ ( j e. N /\ k e. N ) ) -> R e. Ring )
31		elmapi 7879	. . . . . . . . 9 |- ( X e. ( B ^m ( N X. N ) ) -> X : ( N X. N ) --> B )
32	11, 31	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X : ( N X. N ) --> B )
33	32	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ ( j e. N /\ k e. N ) ) -> X : ( N X. N ) --> B )
34		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ ( j e. N /\ k e. N ) ) -> i e. N )
35		simprr 796	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ ( j e. N /\ k e. N ) ) -> k e. N )
36	33, 34, 35	fovrnd 6806	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ ( j e. N /\ k e. N ) ) -> ( i X k ) e. B )
37		elmapi 7879	. . . . . . . . . 10 |- ( Z e. ( B ^m ( N X. N ) ) -> Z : ( N X. N ) --> B )
38	13, 37	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Z : ( N X. N ) --> B )
39	38	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ ( j e. N /\ k e. N ) ) -> Z : ( N X. N ) --> B )
40		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ ( j e. N /\ k e. N ) ) -> j e. N )
41	39, 35, 40	fovrnd 6806	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ ( j e. N /\ k e. N ) ) -> ( k Z j ) e. B )
42		elmapi 7879	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. ( B ^m N ) -> Y : N --> B )
43		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Y : N --> B /\ j e. N ) -> ( Y ` j ) e. B )
44	43	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( Y : N --> B -> ( j e. N -> ( Y ` j ) e. B ) )
45	16, 42, 44	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( j e. N -> ( Y ` j ) e. B ) )
46	45	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. N ) -> ( Y ` j ) e. B )
47	46	ad2ant2r 783	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ ( j e. N /\ k e. N ) ) -> ( Y ` j ) e. B )
48	3, 4	ringcl 18561	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( k Z j ) e. B /\ ( Y ` j ) e. B ) -> ( ( k Z j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) e. B )
49	30, 41, 47, 48	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ ( j e. N /\ k e. N ) ) -> ( ( k Z j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) e. B )
50	3, 4	ringcl 18561	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( i X k ) e. B /\ ( ( k Z j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) e. B ) -> ( ( i X k ) ( .r ` R ) ( ( k Z j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) ) e. B )
51	30, 36, 49, 50	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ ( j e. N /\ k e. N ) ) -> ( ( i X k ) ( .r ` R ) ( ( k Z j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) ) e. B )
52	3, 28, 29, 29, 51	gsumcom3fi 20206	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> ( R gsumg ( j e. N |-> ( R gsumg ( k e. N |-> ( ( i X k ) ( .r ` R ) ( ( k Z j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( k e. N |-> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i X k ) ( .r ` R ) ( ( k Z j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) ) ) ) ) ) )
53	5	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> R e. Ring )
54	6	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> N e. Fin )
55	11	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> X e. ( B ^m ( N X. N ) ) )
56	13	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> Z e. ( B ^m ( N X. N ) ) )
57		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> i e. N )
58		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> j e. N )
59	7, 3, 4, 53, 54, 54, 54, 55, 56, 57, 58	mamufv 20193	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> ( i ( X .X. Z ) j ) = ( R gsumg ( k e. N |-> ( ( i X k ) ( .r ` R ) ( k Z j ) ) ) ) )
60	59	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> ( ( i ( X .X. Z ) j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) = ( ( R gsumg ( k e. N |-> ( ( i X k ) ( .r ` R ) ( k Z j ) ) ) ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) )
61		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
62		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
63	46	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> ( Y ` j ) e. B )
64	5	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> R e. Ring )
65	64	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) /\ k e. N ) -> R e. Ring )
66	32	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ k e. N ) -> X : ( N X. N ) --> B )
67		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ k e. N ) -> i e. N )
68		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ k e. N ) -> k e. N )
69	66, 67, 68	fovrnd 6806	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ k e. N ) -> ( i X k ) e. B )
70	69	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) /\ k e. N ) -> ( i X k ) e. B )
71	38	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> Z : ( N X. N ) --> B )
72	71	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) /\ k e. N ) -> Z : ( N X. N ) --> B )
73		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) /\ k e. N ) -> k e. N )
74		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) /\ k e. N ) -> j e. N )
75	72, 73, 74	fovrnd 6806	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) /\ k e. N ) -> ( k Z j ) e. B )
76	3, 4	ringcl 18561	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ ( i X k ) e. B /\ ( k Z j ) e. B ) -> ( ( i X k ) ( .r ` R ) ( k Z j ) ) e. B )
77	65, 70, 75, 76	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) /\ k e. N ) -> ( ( i X k ) ( .r ` R ) ( k Z j ) ) e. B )
78		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( k e. N |-> ( ( i X k ) ( .r ` R ) ( k Z j ) ) ) = ( k e. N |-> ( ( i X k ) ( .r ` R ) ( k Z j ) ) )
79		ovexd 6680	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) /\ k e. N ) -> ( ( i X k ) ( .r ` R ) ( k Z j ) ) e. _V )
80		fvexd 6203	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> ( 0g ` R ) e. _V )
81	78, 54, 79, 80	fsuppmptdm 8286	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> ( k e. N |-> ( ( i X k ) ( .r ` R ) ( k Z j ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
82	3, 61, 62, 4, 53, 54, 63, 77, 81	gsummulc1 18606	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> ( ( ( i X k ) ( .r ` R ) ( k Z j ) ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) ) ) = ( ( R gsumg ( k e. N |-> ( ( i X k ) ( .r ` R ) ( k Z j ) ) ) ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) )
83	3, 4	ringass 18564	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( i X k ) e. B /\ ( k Z j ) e. B /\ ( Y ` j ) e. B ) ) -> ( ( ( i X k ) ( .r ` R ) ( k Z j ) ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) = ( ( i X k ) ( .r ` R ) ( ( k Z j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) ) )
84	30, 36, 41, 47, 83	syl13anc 1328	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ ( j e. N /\ k e. N ) ) -> ( ( ( i X k ) ( .r ` R ) ( k Z j ) ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) = ( ( i X k ) ( .r ` R ) ( ( k Z j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) ) )
85	84	anassrs 680	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) /\ k e. N ) -> ( ( ( i X k ) ( .r ` R ) ( k Z j ) ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) = ( ( i X k ) ( .r ` R ) ( ( k Z j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) ) )
86	85	mpteq2dva 4744	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> ( k e. N |-> ( ( ( i X k ) ( .r ` R ) ( k Z j ) ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) ) = ( k e. N |-> ( ( i X k ) ( .r ` R ) ( ( k Z j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) ) ) )
87	86	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> ( ( ( i X k ) ( .r ` R ) ( k Z j ) ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) ) ) = ( R gsumg ( k e. N |-> ( ( i X k ) ( .r ` R ) ( ( k Z j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) ) ) ) )
88	60, 82, 87	3eqtr2d 2662	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> ( ( i ( X .X. Z ) j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) = ( R gsumg ( k e. N |-> ( ( i X k ) ( .r ` R ) ( ( k Z j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) ) ) ) )
89	88	mpteq2dva 4744	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> ( j e. N |-> ( ( i ( X .X. Z ) j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) ) = ( j e. N |-> ( R gsumg ( k e. N |-> ( ( i X k ) ( .r ` R ) ( ( k Z j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) ) ) ) ) )
90	89	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i ( X .X. Z ) j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) ) ) = ( R gsumg ( j e. N |-> ( R gsumg ( k e. N |-> ( ( i X k ) ( .r ` R ) ( ( k Z j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) ) ) ) ) ) )
91	5	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ k e. N ) -> R e. Ring )
92	6	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ k e. N ) -> N e. Fin )
93	12	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ k e. N ) -> Z e. ( Base ` A ) )
94	16	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ k e. N ) -> Y e. ( B ^m N ) )
95	1, 2, 3, 4, 91, 92, 93, 94, 68	mavmulfv 20352	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ k e. N ) -> ( ( Z .x. Y ) ` k ) = ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( k Z j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) ) ) )
96	95	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ k e. N ) -> ( ( i X k ) ( .r ` R ) ( ( Z .x. Y ) ` k ) ) = ( ( i X k ) ( .r ` R ) ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( k Z j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) ) ) ) )
97	64	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ k e. N ) /\ j e. N ) -> R e. Ring )
98	71	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ k e. N ) /\ j e. N ) -> Z : ( N X. N ) --> B )
99		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ k e. N ) /\ j e. N ) -> k e. N )
100		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ k e. N ) /\ j e. N ) -> j e. N )
101	98, 99, 100	fovrnd 6806	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ k e. N ) /\ j e. N ) -> ( k Z j ) e. B )
102	45	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ k e. N ) -> ( j e. N -> ( Y ` j ) e. B ) )
103	102	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ k e. N ) /\ j e. N ) -> ( Y ` j ) e. B )
104	97, 101, 103, 48	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ k e. N ) /\ j e. N ) -> ( ( k Z j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) e. B )
105		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( j e. N |-> ( ( k Z j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) ) = ( j e. N |-> ( ( k Z j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) )
106		ovexd 6680	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ k e. N ) /\ j e. N ) -> ( ( k Z j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) e. _V )
107		fvexd 6203	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ k e. N ) -> ( 0g ` R ) e. _V )
108	105, 92, 106, 107	fsuppmptdm 8286	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ k e. N ) -> ( j e. N |-> ( ( k Z j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
109	3, 61, 62, 4, 91, 92, 69, 104, 108	gsummulc2 18607	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ k e. N ) -> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i X k ) ( .r ` R ) ( ( k Z j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) ) ) ) = ( ( i X k ) ( .r ` R ) ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( k Z j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) ) ) ) )
110	96, 109	eqtr4d 2659	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ k e. N ) -> ( ( i X k ) ( .r ` R ) ( ( Z .x. Y ) ` k ) ) = ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i X k ) ( .r ` R ) ( ( k Z j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) ) ) ) )
111	110	mpteq2dva 4744	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> ( k e. N |-> ( ( i X k ) ( .r ` R ) ( ( Z .x. Y ) ` k ) ) ) = ( k e. N |-> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i X k ) ( .r ` R ) ( ( k Z j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) ) ) ) ) )
112	111	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> ( R gsumg ( k e. N |-> ( ( i X k ) ( .r ` R ) ( ( Z .x. Y ) ` k ) ) ) ) = ( R gsumg ( k e. N |-> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i X k ) ( .r ` R ) ( ( k Z j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) ) ) ) ) ) )
113	52, 90, 112	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i ( X .X. Z ) j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) ) ) = ( R gsumg ( k e. N |-> ( ( i X k ) ( .r ` R ) ( ( Z .x. Y ) ` k ) ) ) ) )
114	15	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> ( X .X. Z ) e. ( Base ` A ) )
115	16	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> Y e. ( B ^m N ) )
116		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> i e. N )
117	1, 2, 3, 4, 64, 29, 114, 115, 116	mavmulfv 20352	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> ( ( ( X .X. Z ) .x. Y ) ` i ) = ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i ( X .X. Z ) j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) ) ) )
118	8	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> X e. ( Base ` A ) )
119	21	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> ( Z .x. Y ) e. ( B ^m N ) )
120	1, 2, 3, 4, 64, 29, 118, 119, 116	mavmulfv 20352	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> ( ( X .x. ( Z .x. Y ) ) ` i ) = ( R gsumg ( k e. N |-> ( ( i X k ) ( .r ` R ) ( ( Z .x. Y ) ` k ) ) ) ) )
121	113, 117, 120	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> ( ( ( X .X. Z ) .x. Y ) ` i ) = ( ( X .x. ( Z .x. Y ) ) ` i ) )
122	20, 25, 121	eqfnfvd 6314	1 |- ( ph -> ( ( X .X. Z ) .x. Y ) = ( X .x. ( Z .x. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   <.cop 4183   <.cotp 4185   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101  CMndccmn 18193   Ringcrg 18547   maMul cmmul 20189   Mat cmat 20213   maVecMul cmvmul 20346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mamu 20190  df-mat 20214  df-mvmul 20347

This theorem is referenced by:  slesolinv  20486  slesolinvbi  20487