Theorem mgmhmf1o 41787

Description: A magma homomorphism is bijective iff its converse is also a magma homomorphism. (Contributed by AV, 25-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgmhmf1o.b	|- B = ( Base ` R )
mgmhmf1o.c	|- C = ( Base ` S )

Assertion

Ref	Expression
mgmhmf1o	|- ( F e. ( R MgmHom S ) -> ( F : B -1-1-onto-> C <-> `' F e. ( S MgmHom R ) ) )

Proof of Theorem mgmhmf1o

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgmhmrcl 41781	. . . . 5 |- ( F e. ( R MgmHom S ) -> ( R e. Mgm /\ S e. Mgm ) )
2	1	ancomd 467	. . . 4 |- ( F e. ( R MgmHom S ) -> ( S e. Mgm /\ R e. Mgm ) )
3	2	adantr 481	. . 3 |- ( ( F e. ( R MgmHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> ( S e. Mgm /\ R e. Mgm ) )
4		f1ocnv 6149	. . . . . 6 |- ( F : B -1-1-onto-> C -> `' F : C -1-1-onto-> B )
5	4	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( F e. ( R MgmHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> `' F : C -1-1-onto-> B )
6		f1of 6137	. . . . 5 |- ( `' F : C -1-1-onto-> B -> `' F : C --> B )
7	5, 6	syl 17	. . . 4 |- ( ( F e. ( R MgmHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> `' F : C --> B )
8		simpll 790	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( R MgmHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> F e. ( R MgmHom S ) )
9	7	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( R MgmHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> `' F : C --> B )
10		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( R MgmHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> x e. C )
11	9, 10	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( R MgmHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( `' F ` x ) e. B )
12		simprr 796	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( R MgmHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> y e. C )
13	9, 12	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( R MgmHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( `' F ` y ) e. B )
14		mgmhmf1o.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` R )
15		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
16		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
17	14, 15, 16	mgmhmlin 41786	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( R MgmHom S ) /\ ( `' F ` x ) e. B /\ ( `' F ` y ) e. B ) -> ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) ) = ( ( F ` ( `' F ` x ) ) ( +g ` S ) ( F ` ( `' F ` y ) ) ) )
18	8, 11, 13, 17	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( R MgmHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) ) = ( ( F ` ( `' F ` x ) ) ( +g ` S ) ( F ` ( `' F ` y ) ) ) )
19		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( R MgmHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> F : B -1-1-onto-> C )
20		f1ocnvfv2 6533	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : B -1-1-onto-> C /\ x e. C ) -> ( F ` ( `' F ` x ) ) = x )
21	19, 10, 20	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( R MgmHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( F ` ( `' F ` x ) ) = x )
22		f1ocnvfv2 6533	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : B -1-1-onto-> C /\ y e. C ) -> ( F ` ( `' F ` y ) ) = y )
23	19, 12, 22	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( R MgmHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( F ` ( `' F ` y ) ) = y )
24	21, 23	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( R MgmHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( ( F ` ( `' F ` x ) ) ( +g ` S ) ( F ` ( `' F ` y ) ) ) = ( x ( +g ` S ) y ) )
25	18, 24	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( R MgmHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) ) = ( x ( +g ` S ) y ) )
26	1	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( R MgmHom S ) -> R e. Mgm )
27	26	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( R MgmHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> R e. Mgm )
28	27	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( R MgmHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> R e. Mgm )
29	14, 15	mgmcl 17245	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Mgm /\ ( `' F ` x ) e. B /\ ( `' F ` y ) e. B ) -> ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) e. B )
30	28, 11, 13, 29	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( R MgmHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) e. B )
31		f1ocnvfv 6534	. . . . . . 7 |- ( ( F : B -1-1-onto-> C /\ ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) e. B ) -> ( ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) ) = ( x ( +g ` S ) y ) -> ( `' F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) ) )
32	19, 30, 31	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( R MgmHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) ) = ( x ( +g ` S ) y ) -> ( `' F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) ) )
33	25, 32	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( R MgmHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( `' F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) )
34	33	ralrimivva 2971	. . . 4 |- ( ( F e. ( R MgmHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> A. x e. C A. y e. C ( `' F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) )
35	7, 34	jca 554	. . 3 |- ( ( F e. ( R MgmHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> ( `' F : C --> B /\ A. x e. C A. y e. C ( `' F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) ) )
36		mgmhmf1o.c	. . . 4 |- C = ( Base ` S )
37	36, 14, 16, 15	ismgmhm 41783	. . 3 |- ( `' F e. ( S MgmHom R ) <-> ( ( S e. Mgm /\ R e. Mgm ) /\ ( `' F : C --> B /\ A. x e. C A. y e. C ( `' F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) ) ) )
38	3, 35, 37	sylanbrc 698	. 2 |- ( ( F e. ( R MgmHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> `' F e. ( S MgmHom R ) )
39	14, 36	mgmhmf 41784	. . . . 5 |- ( F e. ( R MgmHom S ) -> F : B --> C )
40	39	adantr 481	. . . 4 |- ( ( F e. ( R MgmHom S ) /\ `' F e. ( S MgmHom R ) ) -> F : B --> C )
41		ffn 6045	. . . 4 |- ( F : B --> C -> F Fn B )
42	40, 41	syl 17	. . 3 |- ( ( F e. ( R MgmHom S ) /\ `' F e. ( S MgmHom R ) ) -> F Fn B )
43	36, 14	mgmhmf 41784	. . . . 5 |- ( `' F e. ( S MgmHom R ) -> `' F : C --> B )
44	43	adantl 482	. . . 4 |- ( ( F e. ( R MgmHom S ) /\ `' F e. ( S MgmHom R ) ) -> `' F : C --> B )
45		ffn 6045	. . . 4 |- ( `' F : C --> B -> `' F Fn C )
46	44, 45	syl 17	. . 3 |- ( ( F e. ( R MgmHom S ) /\ `' F e. ( S MgmHom R ) ) -> `' F Fn C )
47		dff1o4 6145	. . 3 |- ( F : B -1-1-onto-> C <-> ( F Fn B /\ `' F Fn C ) )
48	42, 46, 47	sylanbrc 698	. 2 |- ( ( F e. ( R MgmHom S ) /\ `' F e. ( S MgmHom R ) ) -> F : B -1-1-onto-> C )
49	38, 48	impbida 877	1 |- ( F e. ( R MgmHom S ) -> ( F : B -1-1-onto-> C <-> `' F e. ( S MgmHom R ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   `'ccnv 5113   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Mgmcmgm 17240   MgmHom cmgmhm 41777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-mgm 17242  df-mgmhm 41779

This theorem is referenced by:  rnghmf1o  41903