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Theorem ismgmhm 41783
Description: Property of a magma homomorphism. (Contributed by AV, 25-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ismgmhm.b |- B = ( Base ` S )
ismgmhm.c |- C = ( Base ` T )
ismgmhm.p |- .+ = ( +g ` S )
ismgmhm.q |- .+^ = ( +g ` T )
Assertion
Ref Expression
ismgmhm |- ( F e. ( S MgmHom T ) <-> ( ( S e. Mgm /\ T e. Mgm ) /\ ( F : B --> C /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   x, y, B   x, S, y   x, T, y   x, F, y
Allowed substitution hints:   C( x, y)   .+ ( x, y)   .+^ ( x, y)
Proof of Theorem ismgmhm
Dummy variables f s t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mgmhmrcl 41781 . 2 |- ( F e. ( S MgmHom T ) -> ( S e. Mgm /\ T e. Mgm ) )
2 fveq2 6191 . . . . . . . 8 |- ( t = T -> ( Base ` t ) = ( Base ` T ) )
3 ismgmhm.c . . . . . . . 8 |- C = ( Base ` T )
42, 3syl6eqr 2674 . . . . . . 7 |- ( t = T -> ( Base ` t ) = C )
5 fveq2 6191 . . . . . . . 8 |- ( s = S -> ( Base ` s ) = ( Base ` S ) )
6 ismgmhm.b . . . . . . . 8 |- B = ( Base ` S )
75, 6syl6eqr 2674 . . . . . . 7 |- ( s = S -> ( Base ` s ) = B )
84, 7oveqan12rd 6670 . . . . . 6 |- ( ( s = S /\ t = T ) -> ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` s ) ) = ( C ^m B ) )
97adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( s = S /\ t = T ) -> ( Base ` s ) = B )
10 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . 12 |- ( s = S -> ( +g ` s ) = ( +g ` S ) )
11 ismgmhm.p . . . . . . . . . . . 12 |- .+ = ( +g ` S )
1210, 11syl6eqr 2674 . . . . . . . . . . 11 |- ( s = S -> ( +g ` s ) = .+ )
1312oveqd 6667 . . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( x ( +g ` s ) y ) = ( x .+ y ) )
1413fveq2d 6195 . . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( f ` ( x .+ y ) ) )
15 fveq2 6191 . . . . . . . . . . 11 |- ( t = T -> ( +g ` t ) = ( +g ` T ) )
16 ismgmhm.q . . . . . . . . . . 11 |- .+^ = ( +g ` T )
1715, 16syl6eqr 2674 . . . . . . . . . 10 |- ( t = T -> ( +g ` t ) = .+^ )
1817oveqd 6667 . . . . . . . . 9 |- ( t = T -> ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) )
1914, 18eqeqan12d 2638 . . . . . . . 8 |- ( ( s = S /\ t = T ) -> ( ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) <-> ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) ) )
209, 19raleqbidv 3152 . . . . . . 7 |- ( ( s = S /\ t = T ) -> ( A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) <-> A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) ) )
219, 20raleqbidv 3152 . . . . . 6 |- ( ( s = S /\ t = T ) -> ( A. x e. ( Base ` s ) A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) <-> A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) ) )
228, 21rabeqbidv 3195 . . . . 5 |- ( ( s = S /\ t = T ) -> { f e. ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` s ) ) | A. x e. ( Base ` s ) A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) } = { f e. ( C ^m B ) | A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) } )
23 df-mgmhm 41779 . . . . 5 |- MgmHom = ( s e. Mgm , t e. Mgm |-> { f e. ( ( Base ` t ) ^m ( Base ` s ) ) | A. x e. ( Base ` s ) A. y e. ( Base ` s ) ( f ` ( x ( +g ` s ) y ) ) = ( ( f ` x ) ( +g ` t ) ( f ` y ) ) } )
24 ovex 6678 . . . . . 6 |- ( C ^m B ) e. _V
2524rabex 4813 . . . . 5 |- { f e. ( C ^m B ) | A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) } e. _V
2622, 23, 25ovmpt2a 6791 . . . 4 |- ( ( S e. Mgm /\ T e. Mgm ) -> ( S MgmHom T ) = { f e. ( C ^m B ) | A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) } )
2726eleq2d 2687 . . 3 |- ( ( S e. Mgm /\ T e. Mgm ) -> ( F e. ( S MgmHom T ) <-> F e. { f e. ( C ^m B ) | A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) } ) )
28 fveq1 6190 . . . . . . 7 |- ( f = F -> ( f ` ( x .+ y ) ) = ( F ` ( x .+ y ) ) )
29 fveq1 6190 . . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( f ` x ) = ( F ` x ) )
30 fveq1 6190 . . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( f ` y ) = ( F ` y ) )
3129, 30oveq12d 6668 . . . . . . 7 |- ( f = F -> ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
3228, 31eqeq12d 2637 . . . . . 6 |- ( f = F -> ( ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) <-> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) ) )
33322ralbidv 2989 . . . . 5 |- ( f = F -> ( A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) <-> A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) ) )
3433elrab 3363 . . . 4 |- ( F e. { f e. ( C ^m B ) | A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) } <-> ( F e. ( C ^m B ) /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) ) )
35 fvex 6201 . . . . . . 7 |- ( Base ` T ) e. _V
363, 35eqeltri 2697 . . . . . 6 |- C e. _V
37 fvex 6201 . . . . . . 7 |- ( Base ` S ) e. _V
386, 37eqeltri 2697 . . . . . 6 |- B e. _V
3936, 38elmap 7886 . . . . 5 |- ( F e. ( C ^m B ) <-> F : B --> C )
4039anbi1i 731 . . . 4 |- ( ( F e. ( C ^m B ) /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) ) <-> ( F : B --> C /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) ) )
4134, 40bitri 264 . . 3 |- ( F e. { f e. ( C ^m B ) | A. x e. B A. y e. B ( f ` ( x .+ y ) ) = ( ( f ` x ) .+^ ( f ` y ) ) } <-> ( F : B --> C /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) ) )
4227, 41syl6bb 276 . 2 |- ( ( S e. Mgm /\ T e. Mgm ) -> ( F e. ( S MgmHom T ) <-> ( F : B --> C /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) ) ) )
431, 42biadan2 674 1 |- ( F e. ( S MgmHom T ) <-> ( ( S e. Mgm /\ T e. Mgm ) /\ ( F : B --> C /\ A. x e. B A. y e. B ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Mgmcmgm 17240   MgmHom cmgmhm 41777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-mgmhm 41779
This theorem is referenced by:  mgmhmf  41784  mgmhmpropd  41785  mgmhmlin  41786  mgmhmf1o  41787  idmgmhm  41788  resmgmhm  41798  resmgmhm2  41799  resmgmhm2b  41800  mgmhmco  41801  ismhm0  41805  mhmismgmhm  41806  isrnghmmul  41893  c0mgm  41909  c0snmgmhm  41914
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