Theorem mhmf1o 17345

Description: A monoid homomorphism is bijective iff its converse is also a monoid homomorphism. (Contributed by AV, 22-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhmf1o.b	|- B = ( Base ` R )
mhmf1o.c	|- C = ( Base ` S )

Assertion

Ref	Expression
mhmf1o	|- ( F e. ( R MndHom S ) -> ( F : B -1-1-onto-> C <-> `' F e. ( S MndHom R ) ) )

Proof of Theorem mhmf1o

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhmrcl2 17339	. . . . 5 |- ( F e. ( R MndHom S ) -> S e. Mnd )
2		mhmrcl1 17338	. . . . 5 |- ( F e. ( R MndHom S ) -> R e. Mnd )
3	1, 2	jca 554	. . . 4 |- ( F e. ( R MndHom S ) -> ( S e. Mnd /\ R e. Mnd ) )
4	3	adantr 481	. . 3 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> ( S e. Mnd /\ R e. Mnd ) )
5		f1ocnv 6149	. . . . . 6 |- ( F : B -1-1-onto-> C -> `' F : C -1-1-onto-> B )
6	5	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> `' F : C -1-1-onto-> B )
7		f1of 6137	. . . . 5 |- ( `' F : C -1-1-onto-> B -> `' F : C --> B )
8	6, 7	syl 17	. . . 4 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> `' F : C --> B )
9		simpll 790	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> F e. ( R MndHom S ) )
10	8	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> `' F : C --> B )
11		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> x e. C )
12	10, 11	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( `' F ` x ) e. B )
13		simprr 796	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> y e. C )
14	10, 13	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( `' F ` y ) e. B )
15		mhmf1o.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` R )
16		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
17		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
18	15, 16, 17	mhmlin 17342	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ ( `' F ` x ) e. B /\ ( `' F ` y ) e. B ) -> ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) ) = ( ( F ` ( `' F ` x ) ) ( +g ` S ) ( F ` ( `' F ` y ) ) ) )
19	9, 12, 14, 18	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) ) = ( ( F ` ( `' F ` x ) ) ( +g ` S ) ( F ` ( `' F ` y ) ) ) )
20		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> F : B -1-1-onto-> C )
21	20	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> F : B -1-1-onto-> C )
22		f1ocnvfv2 6533	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : B -1-1-onto-> C /\ x e. C ) -> ( F ` ( `' F ` x ) ) = x )
23	21, 11, 22	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( F ` ( `' F ` x ) ) = x )
24		f1ocnvfv2 6533	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : B -1-1-onto-> C /\ y e. C ) -> ( F ` ( `' F ` y ) ) = y )
25	21, 13, 24	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( F ` ( `' F ` y ) ) = y )
26	23, 25	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( ( F ` ( `' F ` x ) ) ( +g ` S ) ( F ` ( `' F ` y ) ) ) = ( x ( +g ` S ) y ) )
27	19, 26	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) ) = ( x ( +g ` S ) y ) )
28	2	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> R e. Mnd )
29	28	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> R e. Mnd )
30	15, 16	mndcl 17301	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Mnd /\ ( `' F ` x ) e. B /\ ( `' F ` y ) e. B ) -> ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) e. B )
31	29, 12, 14, 30	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) e. B )
32		f1ocnvfv 6534	. . . . . . 7 |- ( ( F : B -1-1-onto-> C /\ ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) e. B ) -> ( ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) ) = ( x ( +g ` S ) y ) -> ( `' F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) ) )
33	21, 31, 32	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( ( F ` ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) ) = ( x ( +g ` S ) y ) -> ( `' F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) ) )
34	27, 33	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) /\ ( x e. C /\ y e. C ) ) -> ( `' F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) )
35	34	ralrimivva 2971	. . . 4 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> A. x e. C A. y e. C ( `' F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) )
36		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
37		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` S ) = ( 0g ` S )
38	36, 37	mhm0 17343	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( R MndHom S ) -> ( F ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` S ) )
39	38	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> ( F ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` S ) )
40	39	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> ( 0g ` S ) = ( F ` ( 0g ` R ) ) )
41	40	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> ( `' F ` ( 0g ` S ) ) = ( `' F ` ( F ` ( 0g ` R ) ) ) )
42	15, 36	mndidcl 17308	. . . . . . . 8 |- ( R e. Mnd -> ( 0g ` R ) e. B )
43	2, 42	syl 17	. . . . . . 7 |- ( F e. ( R MndHom S ) -> ( 0g ` R ) e. B )
44	43	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> ( 0g ` R ) e. B )
45		f1ocnvfv1 6532	. . . . . 6 |- ( ( F : B -1-1-onto-> C /\ ( 0g ` R ) e. B ) -> ( `' F ` ( F ` ( 0g ` R ) ) ) = ( 0g ` R ) )
46	20, 44, 45	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> ( `' F ` ( F ` ( 0g ` R ) ) ) = ( 0g ` R ) )
47	41, 46	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> ( `' F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` R ) )
48	8, 35, 47	3jca 1242	. . 3 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> ( `' F : C --> B /\ A. x e. C A. y e. C ( `' F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) /\ ( `' F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` R ) ) )
49		mhmf1o.c	. . . 4 |- C = ( Base ` S )
50	49, 15, 17, 16, 37, 36	ismhm 17337	. . 3 |- ( `' F e. ( S MndHom R ) <-> ( ( S e. Mnd /\ R e. Mnd ) /\ ( `' F : C --> B /\ A. x e. C A. y e. C ( `' F ` ( x ( +g ` S ) y ) ) = ( ( `' F ` x ) ( +g ` R ) ( `' F ` y ) ) /\ ( `' F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` R ) ) ) )
51	4, 48, 50	sylanbrc 698	. 2 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ F : B -1-1-onto-> C ) -> `' F e. ( S MndHom R ) )
52	15, 49	mhmf 17340	. . . . 5 |- ( F e. ( R MndHom S ) -> F : B --> C )
53	52	adantr 481	. . . 4 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ `' F e. ( S MndHom R ) ) -> F : B --> C )
54		ffn 6045	. . . 4 |- ( F : B --> C -> F Fn B )
55	53, 54	syl 17	. . 3 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ `' F e. ( S MndHom R ) ) -> F Fn B )
56	49, 15	mhmf 17340	. . . . 5 |- ( `' F e. ( S MndHom R ) -> `' F : C --> B )
57	56	adantl 482	. . . 4 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ `' F e. ( S MndHom R ) ) -> `' F : C --> B )
58		ffn 6045	. . . 4 |- ( `' F : C --> B -> `' F Fn C )
59	57, 58	syl 17	. . 3 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ `' F e. ( S MndHom R ) ) -> `' F Fn C )
60		dff1o4 6145	. . 3 |- ( F : B -1-1-onto-> C <-> ( F Fn B /\ `' F Fn C ) )
61	55, 59, 60	sylanbrc 698	. 2 |- ( ( F e. ( R MndHom S ) /\ `' F e. ( S MndHom R ) ) -> F : B -1-1-onto-> C )
62	51, 61	impbida 877	1 |- ( F e. ( R MndHom S ) -> ( F : B -1-1-onto-> C <-> `' F e. ( S MndHom R ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   `'ccnv 5113   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   Mndcmnd 17294   MndHom cmhm 17333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335

This theorem is referenced by:  rhmf1o  18732