Theorem motco 25435

Description: The composition of two motions is a motion. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismot.p	|- P = ( Base ` G )
ismot.m	|- .- = ( dist ` G )
motgrp.1	|- ( ph -> G e. V )
motco.2	|- ( ph -> F e. ( GIsmt G ) )
motco.3	|- ( ph -> H e. ( GIsmt G ) )

Assertion

Ref	Expression
motco	|- ( ph -> ( F o. H ) e. ( GIsmt G ) )

Proof of Theorem motco

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismot.p	. . . 4 |- P = ( Base ` G )
2		ismot.m	. . . 4 |- .- = ( dist ` G )
3		motgrp.1	. . . 4 |- ( ph -> G e. V )
4		motco.2	. . . 4 |- ( ph -> F e. ( GIsmt G ) )
5	1, 2, 3, 4	motf1o 25433	. . 3 |- ( ph -> F : P -1-1-onto-> P )
6		motco.3	. . . 4 |- ( ph -> H e. ( GIsmt G ) )
7	1, 2, 3, 6	motf1o 25433	. . 3 |- ( ph -> H : P -1-1-onto-> P )
8		f1oco 6159	. . 3 |- ( ( F : P -1-1-onto-> P /\ H : P -1-1-onto-> P ) -> ( F o. H ) : P -1-1-onto-> P )
9	5, 7, 8	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( F o. H ) : P -1-1-onto-> P )
10		f1of 6137	. . . . . . . 8 |- ( H : P -1-1-onto-> P -> H : P --> P )
11	7, 10	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> H : P --> P )
12	11	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. P /\ b e. P ) ) -> H : P --> P )
13		simprl 794	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. P /\ b e. P ) ) -> a e. P )
14		fvco3 6275	. . . . . 6 |- ( ( H : P --> P /\ a e. P ) -> ( ( F o. H ) ` a ) = ( F ` ( H ` a ) ) )
15	12, 13, 14	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. P /\ b e. P ) ) -> ( ( F o. H ) ` a ) = ( F ` ( H ` a ) ) )
16		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. P /\ b e. P ) ) -> b e. P )
17		fvco3 6275	. . . . . 6 |- ( ( H : P --> P /\ b e. P ) -> ( ( F o. H ) ` b ) = ( F ` ( H ` b ) ) )
18	12, 16, 17	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. P /\ b e. P ) ) -> ( ( F o. H ) ` b ) = ( F ` ( H ` b ) ) )
19	15, 18	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. P /\ b e. P ) ) -> ( ( ( F o. H ) ` a ) .- ( ( F o. H ) ` b ) ) = ( ( F ` ( H ` a ) ) .- ( F ` ( H ` b ) ) ) )
20	3	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. P /\ b e. P ) ) -> G e. V )
21	12, 13	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. P /\ b e. P ) ) -> ( H ` a ) e. P )
22	12, 16	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. P /\ b e. P ) ) -> ( H ` b ) e. P )
23	4	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. P /\ b e. P ) ) -> F e. ( GIsmt G ) )
24	1, 2, 20, 21, 22, 23	motcgr 25431	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. P /\ b e. P ) ) -> ( ( F ` ( H ` a ) ) .- ( F ` ( H ` b ) ) ) = ( ( H ` a ) .- ( H ` b ) ) )
25	6	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. P /\ b e. P ) ) -> H e. ( GIsmt G ) )
26	1, 2, 20, 13, 16, 25	motcgr 25431	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. P /\ b e. P ) ) -> ( ( H ` a ) .- ( H ` b ) ) = ( a .- b ) )
27	19, 24, 26	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. P /\ b e. P ) ) -> ( ( ( F o. H ) ` a ) .- ( ( F o. H ) ` b ) ) = ( a .- b ) )
28	27	ralrimivva 2971	. 2 |- ( ph -> A. a e. P A. b e. P ( ( ( F o. H ) ` a ) .- ( ( F o. H ) ` b ) ) = ( a .- b ) )
29	1, 2	ismot 25430	. . 3 |- ( G e. V -> ( ( F o. H ) e. ( GIsmt G ) <-> ( ( F o. H ) : P -1-1-onto-> P /\ A. a e. P A. b e. P ( ( ( F o. H ) ` a ) .- ( ( F o. H ) ` b ) ) = ( a .- b ) ) ) )
30	3, 29	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( ( F o. H ) e. ( GIsmt G ) <-> ( ( F o. H ) : P -1-1-onto-> P /\ A. a e. P A. b e. P ( ( ( F o. H ) ` a ) .- ( ( F o. H ) ` b ) ) = ( a .- b ) ) ) )
31	9, 28, 30	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> ( F o. H ) e. ( GIsmt G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   o. ccom 5118   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   distcds 15950  Ismtcismt 25427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-ismt 25428

This theorem is referenced by:  motgrp  25438