Theorem mptfnf 6015

Description: The maps-to notation defines a function with domain. (Contributed by Scott Fenton, 21-Mar-2011.) (Revised by Thierry Arnoux, 10-May-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptfnf.0	|- F/_ x A

Assertion

Ref	Expression
mptfnf	|- ( A. x e. A B e. _V <-> ( x e. A |-> B ) Fn A )

Proof of Theorem mptfnf

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eueq 3378	. . 3 |- ( B e. _V <-> E! y y = B )
2	1	ralbii 2980	. 2 |- ( A. x e. A B e. _V <-> A. x e. A E! y y = B )
3		r19.26 3064	. . 3 |- ( A. x e. A ( E. y y = B /\ E* y y = B ) <-> ( A. x e. A E. y y = B /\ A. x e. A E* y y = B ) )
4		eu5 2496	. . . 4 |- ( E! y y = B <-> ( E. y y = B /\ E* y y = B ) )
5	4	ralbii 2980	. . 3 |- ( A. x e. A E! y y = B <-> A. x e. A ( E. y y = B /\ E* y y = B ) )
6		df-mpt 4730	. . . . . 6 |- ( x e. A |-> B ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) }
7	6	fneq1i 5985	. . . . 5 |- ( ( x e. A |-> B ) Fn A <-> { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) } Fn A )
8		df-fn 5891	. . . . 5 |- ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) } Fn A <-> ( Fun { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) } /\ dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) } = A ) )
9	7, 8	bitri 264	. . . 4 |- ( ( x e. A |-> B ) Fn A <-> ( Fun { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) } /\ dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) } = A ) )
10		moanimv 2531	. . . . . . 7 |- ( E* y ( x e. A /\ y = B ) <-> ( x e. A -> E* y y = B ) )
11	10	albii 1747	. . . . . 6 |- ( A. x E* y ( x e. A /\ y = B ) <-> A. x ( x e. A -> E* y y = B ) )
12		funopab 5923	. . . . . 6 |- ( Fun { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) } <-> A. x E* y ( x e. A /\ y = B ) )
13		df-ral 2917	. . . . . 6 |- ( A. x e. A E* y y = B <-> A. x ( x e. A -> E* y y = B ) )
14	11, 12, 13	3bitr4ri 293	. . . . 5 |- ( A. x e. A E* y y = B <-> Fun { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) } )
15		eqcom 2629	. . . . . 6 |- ( { x | ( x e. A /\ E. y y = B ) } = A <-> A = { x | ( x e. A /\ E. y y = B ) } )
16		dmopab 5335	. . . . . . . 8 |- dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) } = { x | E. y ( x e. A /\ y = B ) }
17		19.42v 1918	. . . . . . . . 9 |- ( E. y ( x e. A /\ y = B ) <-> ( x e. A /\ E. y y = B ) )
18	17	abbii 2739	. . . . . . . 8 |- { x | E. y ( x e. A /\ y = B ) } = { x | ( x e. A /\ E. y y = B ) }
19	16, 18	eqtri 2644	. . . . . . 7 |- dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) } = { x | ( x e. A /\ E. y y = B ) }
20	19	eqeq1i 2627	. . . . . 6 |- ( dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) } = A <-> { x | ( x e. A /\ E. y y = B ) } = A )
21		pm4.71 662	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A -> E. y y = B ) <-> ( x e. A <-> ( x e. A /\ E. y y = B ) ) )
22	21	albii 1747	. . . . . . 7 |- ( A. x ( x e. A -> E. y y = B ) <-> A. x ( x e. A <-> ( x e. A /\ E. y y = B ) ) )
23		df-ral 2917	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A E. y y = B <-> A. x ( x e. A -> E. y y = B ) )
24		mptfnf.0	. . . . . . . 8 |- F/_ x A
25	24	abeq2f 2792	. . . . . . 7 |- ( A = { x | ( x e. A /\ E. y y = B ) } <-> A. x ( x e. A <-> ( x e. A /\ E. y y = B ) ) )
26	22, 23, 25	3bitr4i 292	. . . . . 6 |- ( A. x e. A E. y y = B <-> A = { x | ( x e. A /\ E. y y = B ) } )
27	15, 20, 26	3bitr4ri 293	. . . . 5 |- ( A. x e. A E. y y = B <-> dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) } = A )
28	14, 27	anbi12i 733	. . . 4 |- ( ( A. x e. A E* y y = B /\ A. x e. A E. y y = B ) <-> ( Fun { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) } /\ dom { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = B ) } = A ) )
29		ancom 466	. . . 4 |- ( ( A. x e. A E* y y = B /\ A. x e. A E. y y = B ) <-> ( A. x e. A E. y y = B /\ A. x e. A E* y y = B ) )
30	9, 28, 29	3bitr2i 288	. . 3 |- ( ( x e. A |-> B ) Fn A <-> ( A. x e. A E. y y = B /\ A. x e. A E* y y = B ) )
31	3, 5, 30	3bitr4ri 293	. 2 |- ( ( x e. A |-> B ) Fn A <-> A. x e. A E! y y = B )
32	2, 31	bitr4i 267	1 |- ( A. x e. A B e. _V <-> ( x e. A |-> B ) Fn A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E!weu 2470   E*wmo 2471   {cab 2608   F/_wnfc 2751   A.wral 2912   _Vcvv 3200   {copab 4712   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-fun 5890  df-fn 5891

This theorem is referenced by:  fnmptf  6016  mptfnd  39451