Theorem nrmr0reg 21552

Description: A normal R₀ space is also regular. These spaces are usually referred to as normal regular spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nrmr0reg	|- ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) -> J e. Reg )

Proof of Theorem nrmr0reg

Dummy variables x y a b w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nrmtop 21140	. . 3 |- ( J e. Nrm -> J e. Top )
2	1	adantr 481	. 2 |- ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) -> J e. Top )
3		simpll 790	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> J e. Nrm )
4		simprl 794	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> x e. J )
5	2	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> J e. Top )
6		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- U. J = U. J
7	6	toptopon 20722	. . . . . . 7 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
8	5, 7	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> J e. (TopOn ` U. J ) )
9		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> (KQ ` J ) e. Fre )
10		simprr 796	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> y e. x )
11		elunii 4441	. . . . . . 7 |- ( ( y e. x /\ x e. J ) -> y e. U. J )
12	10, 4, 11	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> y e. U. J )
13		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( z e. U. J |-> { w e. J | z e. w } ) = ( z e. U. J |-> { w e. J | z e. w } )
14	13	r0cld 21541	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ (KQ ` J ) e. Fre /\ y e. U. J ) -> { a e. U. J | A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) } e. ( Clsd ` J ) )
15	8, 9, 12, 14	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> { a e. U. J | A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) } e. ( Clsd ` J ) )
16		simp1rr 1127	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) /\ a e. U. J /\ A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) ) -> y e. x )
17	4	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) /\ a e. U. J ) -> x e. J )
18		elequ2 2004	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = x -> ( a e. b <-> a e. x ) )
19		elequ2 2004	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = x -> ( y e. b <-> y e. x ) )
20	18, 19	bibi12d 335	. . . . . . . . . 10 |- ( b = x -> ( ( a e. b <-> y e. b ) <-> ( a e. x <-> y e. x ) ) )
21	20	rspcv 3305	. . . . . . . . 9 |- ( x e. J -> ( A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) -> ( a e. x <-> y e. x ) ) )
22	17, 21	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) /\ a e. U. J ) -> ( A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) -> ( a e. x <-> y e. x ) ) )
23	22	3impia 1261	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) /\ a e. U. J /\ A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) ) -> ( a e. x <-> y e. x ) )
24	16, 23	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) /\ a e. U. J /\ A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) ) -> a e. x )
25	24	rabssdv 3682	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> { a e. U. J | A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) } C_ x )
26		nrmsep3 21159	. . . . 5 |- ( ( J e. Nrm /\ ( x e. J /\ { a e. U. J | A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) } e. ( Clsd ` J ) /\ { a e. U. J | A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) } C_ x ) ) -> E. z e. J ( { a e. U. J | A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) } C_ z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ x ) )
27	3, 4, 15, 25, 26	syl13anc 1328	. . . 4 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> E. z e. J ( { a e. U. J | A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) } C_ z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ x ) )
28		biidd 252	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> ( y e. b <-> y e. b ) )
29	28	ralrimivw 2967	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> A. b e. J ( y e. b <-> y e. b ) )
30		elequ1 1997	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = y -> ( a e. b <-> y e. b ) )
31	30	bibi1d 333	. . . . . . . . . 10 |- ( a = y -> ( ( a e. b <-> y e. b ) <-> ( y e. b <-> y e. b ) ) )
32	31	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( a = y -> ( A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) <-> A. b e. J ( y e. b <-> y e. b ) ) )
33	32	elrab 3363	. . . . . . . 8 |- ( y e. { a e. U. J | A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) } <-> ( y e. U. J /\ A. b e. J ( y e. b <-> y e. b ) ) )
34	12, 29, 33	sylanbrc 698	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> y e. { a e. U. J | A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) } )
35		ssel 3597	. . . . . . 7 |- ( { a e. U. J | A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) } C_ z -> ( y e. { a e. U. J | A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) } -> y e. z ) )
36	34, 35	syl5com 31	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> ( { a e. U. J | A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) } C_ z -> y e. z ) )
37	36	anim1d 588	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> ( ( { a e. U. J | A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) } C_ z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ x ) -> ( y e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ x ) ) )
38	37	reximdv 3016	. . . 4 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> ( E. z e. J ( { a e. U. J | A. b e. J ( a e. b <-> y e. b ) } C_ z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ x ) -> E. z e. J ( y e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ x ) ) )
39	27, 38	mpd 15	. . 3 |- ( ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> E. z e. J ( y e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ x ) )
40	39	ralrimivva 2971	. 2 |- ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) -> A. x e. J A. y e. x E. z e. J ( y e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ x ) )
41		isreg 21136	. 2 |- ( J e. Reg <-> ( J e. Top /\ A. x e. J A. y e. x E. z e. J ( y e. z /\ ( ( cls ` J ) ` z ) C_ x ) ) )
42	2, 40, 41	sylanbrc 698	1 |- ( ( J e. Nrm /\ (KQ ` J ) e. Fre ) -> J e. Reg )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Clsdccld 20820   clsccl 20822   Frect1 21111   Regcreg 21113   Nrmcnrm 21114  KQckq 21496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-qtop 16167  df-top 20699  df-topon 20716  df-cld 20823  df-cn 21031  df-t1 21118  df-reg 21120  df-nrm 21121  df-kq 21497

This theorem is referenced by:  nrmreg  21627