Theorem nrmsep 21161

Description: In a normal space, disjoint closed sets are separated by open sets. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.)

Assertion

Ref	Expression
nrmsep	|- ( ( J e. Nrm /\ ( C e. ( Clsd ` J ) /\ D e. ( Clsd ` J ) /\ ( C i^i D ) = (/) ) ) -> E. x e. J E. y e. J ( C C_ x /\ D C_ y /\ ( x i^i y ) = (/) ) )

Distinct variable groups:   x, y, C   x, D, y   x, J, y

Proof of Theorem nrmsep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nrmtop 21140	. . . . . 6 |- ( J e. Nrm -> J e. Top )
2	1	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Nrm /\ ( C e. ( Clsd ` J ) /\ D e. ( Clsd ` J ) /\ ( C i^i D ) = (/) ) ) /\ ( x e. J /\ ( C C_ x /\ ( ( ( cls ` J ) ` x ) i^i D ) = (/) ) ) ) -> J e. Top )
3		elssuni 4467	. . . . . 6 |- ( x e. J -> x C_ U. J )
4	3	ad2antrl 764	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Nrm /\ ( C e. ( Clsd ` J ) /\ D e. ( Clsd ` J ) /\ ( C i^i D ) = (/) ) ) /\ ( x e. J /\ ( C C_ x /\ ( ( ( cls ` J ) ` x ) i^i D ) = (/) ) ) ) -> x C_ U. J )
5		eqid 2622	. . . . . 6 |- U. J = U. J
6	5	clscld 20851	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ x C_ U. J ) -> ( ( cls ` J ) ` x ) e. ( Clsd ` J ) )
7	2, 4, 6	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( J e. Nrm /\ ( C e. ( Clsd ` J ) /\ D e. ( Clsd ` J ) /\ ( C i^i D ) = (/) ) ) /\ ( x e. J /\ ( C C_ x /\ ( ( ( cls ` J ) ` x ) i^i D ) = (/) ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` x ) e. ( Clsd ` J ) )
8	5	cldopn 20835	. . . 4 |- ( ( ( cls ` J ) ` x ) e. ( Clsd ` J ) -> ( U. J \ ( ( cls ` J ) ` x ) ) e. J )
9	7, 8	syl 17	. . 3 |- ( ( ( J e. Nrm /\ ( C e. ( Clsd ` J ) /\ D e. ( Clsd ` J ) /\ ( C i^i D ) = (/) ) ) /\ ( x e. J /\ ( C C_ x /\ ( ( ( cls ` J ) ` x ) i^i D ) = (/) ) ) ) -> ( U. J \ ( ( cls ` J ) ` x ) ) e. J )
10		simprrl 804	. . 3 |- ( ( ( J e. Nrm /\ ( C e. ( Clsd ` J ) /\ D e. ( Clsd ` J ) /\ ( C i^i D ) = (/) ) ) /\ ( x e. J /\ ( C C_ x /\ ( ( ( cls ` J ) ` x ) i^i D ) = (/) ) ) ) -> C C_ x )
11		incom 3805	. . . . 5 |- ( D i^i ( ( cls ` J ) ` x ) ) = ( ( ( cls ` J ) ` x ) i^i D )
12		simprrr 805	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Nrm /\ ( C e. ( Clsd ` J ) /\ D e. ( Clsd ` J ) /\ ( C i^i D ) = (/) ) ) /\ ( x e. J /\ ( C C_ x /\ ( ( ( cls ` J ) ` x ) i^i D ) = (/) ) ) ) -> ( ( ( cls ` J ) ` x ) i^i D ) = (/) )
13	11, 12	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( ( ( J e. Nrm /\ ( C e. ( Clsd ` J ) /\ D e. ( Clsd ` J ) /\ ( C i^i D ) = (/) ) ) /\ ( x e. J /\ ( C C_ x /\ ( ( ( cls ` J ) ` x ) i^i D ) = (/) ) ) ) -> ( D i^i ( ( cls ` J ) ` x ) ) = (/) )
14		simplr2 1104	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Nrm /\ ( C e. ( Clsd ` J ) /\ D e. ( Clsd ` J ) /\ ( C i^i D ) = (/) ) ) /\ ( x e. J /\ ( C C_ x /\ ( ( ( cls ` J ) ` x ) i^i D ) = (/) ) ) ) -> D e. ( Clsd ` J ) )
15	5	cldss 20833	. . . . 5 |- ( D e. ( Clsd ` J ) -> D C_ U. J )
16		reldisj 4020	. . . . 5 |- ( D C_ U. J -> ( ( D i^i ( ( cls ` J ) ` x ) ) = (/) <-> D C_ ( U. J \ ( ( cls ` J ) ` x ) ) ) )
17	14, 15, 16	3syl 18	. . . 4 |- ( ( ( J e. Nrm /\ ( C e. ( Clsd ` J ) /\ D e. ( Clsd ` J ) /\ ( C i^i D ) = (/) ) ) /\ ( x e. J /\ ( C C_ x /\ ( ( ( cls ` J ) ` x ) i^i D ) = (/) ) ) ) -> ( ( D i^i ( ( cls ` J ) ` x ) ) = (/) <-> D C_ ( U. J \ ( ( cls ` J ) ` x ) ) ) )
18	13, 17	mpbid 222	. . 3 |- ( ( ( J e. Nrm /\ ( C e. ( Clsd ` J ) /\ D e. ( Clsd ` J ) /\ ( C i^i D ) = (/) ) ) /\ ( x e. J /\ ( C C_ x /\ ( ( ( cls ` J ) ` x ) i^i D ) = (/) ) ) ) -> D C_ ( U. J \ ( ( cls ` J ) ` x ) ) )
19	5	sscls 20860	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ x C_ U. J ) -> x C_ ( ( cls ` J ) ` x ) )
20	2, 4, 19	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Nrm /\ ( C e. ( Clsd ` J ) /\ D e. ( Clsd ` J ) /\ ( C i^i D ) = (/) ) ) /\ ( x e. J /\ ( C C_ x /\ ( ( ( cls ` J ) ` x ) i^i D ) = (/) ) ) ) -> x C_ ( ( cls ` J ) ` x ) )
21		ssrin 3838	. . . . 5 |- ( x C_ ( ( cls ` J ) ` x ) -> ( x i^i ( U. J \ ( ( cls ` J ) ` x ) ) ) C_ ( ( ( cls ` J ) ` x ) i^i ( U. J \ ( ( cls ` J ) ` x ) ) ) )
22	20, 21	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( J e. Nrm /\ ( C e. ( Clsd ` J ) /\ D e. ( Clsd ` J ) /\ ( C i^i D ) = (/) ) ) /\ ( x e. J /\ ( C C_ x /\ ( ( ( cls ` J ) ` x ) i^i D ) = (/) ) ) ) -> ( x i^i ( U. J \ ( ( cls ` J ) ` x ) ) ) C_ ( ( ( cls ` J ) ` x ) i^i ( U. J \ ( ( cls ` J ) ` x ) ) ) )
23		disjdif 4040	. . . 4 |- ( ( ( cls ` J ) ` x ) i^i ( U. J \ ( ( cls ` J ) ` x ) ) ) = (/)
24		sseq0 3975	. . . 4 |- ( ( ( x i^i ( U. J \ ( ( cls ` J ) ` x ) ) ) C_ ( ( ( cls ` J ) ` x ) i^i ( U. J \ ( ( cls ` J ) ` x ) ) ) /\ ( ( ( cls ` J ) ` x ) i^i ( U. J \ ( ( cls ` J ) ` x ) ) ) = (/) ) -> ( x i^i ( U. J \ ( ( cls ` J ) ` x ) ) ) = (/) )
25	22, 23, 24	sylancl 694	. . 3 |- ( ( ( J e. Nrm /\ ( C e. ( Clsd ` J ) /\ D e. ( Clsd ` J ) /\ ( C i^i D ) = (/) ) ) /\ ( x e. J /\ ( C C_ x /\ ( ( ( cls ` J ) ` x ) i^i D ) = (/) ) ) ) -> ( x i^i ( U. J \ ( ( cls ` J ) ` x ) ) ) = (/) )
26		sseq2 3627	. . . . 5 |- ( y = ( U. J \ ( ( cls ` J ) ` x ) ) -> ( D C_ y <-> D C_ ( U. J \ ( ( cls ` J ) ` x ) ) ) )
27		ineq2 3808	. . . . . 6 |- ( y = ( U. J \ ( ( cls ` J ) ` x ) ) -> ( x i^i y ) = ( x i^i ( U. J \ ( ( cls ` J ) ` x ) ) ) )
28	27	eqeq1d 2624	. . . . 5 |- ( y = ( U. J \ ( ( cls ` J ) ` x ) ) -> ( ( x i^i y ) = (/) <-> ( x i^i ( U. J \ ( ( cls ` J ) ` x ) ) ) = (/) ) )
29	26, 28	3anbi23d 1402	. . . 4 |- ( y = ( U. J \ ( ( cls ` J ) ` x ) ) -> ( ( C C_ x /\ D C_ y /\ ( x i^i y ) = (/) ) <-> ( C C_ x /\ D C_ ( U. J \ ( ( cls ` J ) ` x ) ) /\ ( x i^i ( U. J \ ( ( cls ` J ) ` x ) ) ) = (/) ) ) )
30	29	rspcev 3309	. . 3 |- ( ( ( U. J \ ( ( cls ` J ) ` x ) ) e. J /\ ( C C_ x /\ D C_ ( U. J \ ( ( cls ` J ) ` x ) ) /\ ( x i^i ( U. J \ ( ( cls ` J ) ` x ) ) ) = (/) ) ) -> E. y e. J ( C C_ x /\ D C_ y /\ ( x i^i y ) = (/) ) )
31	9, 10, 18, 25, 30	syl13anc 1328	. 2 |- ( ( ( J e. Nrm /\ ( C e. ( Clsd ` J ) /\ D e. ( Clsd ` J ) /\ ( C i^i D ) = (/) ) ) /\ ( x e. J /\ ( C C_ x /\ ( ( ( cls ` J ) ` x ) i^i D ) = (/) ) ) ) -> E. y e. J ( C C_ x /\ D C_ y /\ ( x i^i y ) = (/) ) )
32		nrmsep2 21160	. 2 |- ( ( J e. Nrm /\ ( C e. ( Clsd ` J ) /\ D e. ( Clsd ` J ) /\ ( C i^i D ) = (/) ) ) -> E. x e. J ( C C_ x /\ ( ( ( cls ` J ) ` x ) i^i D ) = (/) ) )
33	31, 32	reximddv 3018	1 |- ( ( J e. Nrm /\ ( C e. ( Clsd ` J ) /\ D e. ( Clsd ` J ) /\ ( C i^i D ) = (/) ) ) -> E. x e. J E. y e. J ( C C_ x /\ D C_ y /\ ( x i^i y ) = (/) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U.cuni 4436   ` cfv 5888   Topctop 20698   Clsdccld 20820   clsccl 20822   Nrmcnrm 21114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-top 20699  df-cld 20823  df-cls 20825  df-nrm 21121

This theorem is referenced by:  isnrm3  21163