Theorem isnrm2 21162

Description: An alternate characterization of normality. This is the important property in the proof of Urysohn's lemma. (Contributed by Jeff Hankins, 1-Feb-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isnrm2	|- ( J e. Nrm <-> ( J e. Top /\ A. c e. ( Clsd ` J ) A. d e. ( Clsd ` J ) ( ( c i^i d ) = (/) -> E. o e. J ( c C_ o /\ ( ( ( cls ` J ) ` o ) i^i d ) = (/) ) ) ) )

Distinct variable group:   c, d, o, J

Proof of Theorem isnrm2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nrmtop 21140	. . 3 |- ( J e. Nrm -> J e. Top )
2		nrmsep2 21160	. . . . . 6 |- ( ( J e. Nrm /\ ( c e. ( Clsd ` J ) /\ d e. ( Clsd ` J ) /\ ( c i^i d ) = (/) ) ) -> E. o e. J ( c C_ o /\ ( ( ( cls ` J ) ` o ) i^i d ) = (/) ) )
3	2	3exp2 1285	. . . . 5 |- ( J e. Nrm -> ( c e. ( Clsd ` J ) -> ( d e. ( Clsd ` J ) -> ( ( c i^i d ) = (/) -> E. o e. J ( c C_ o /\ ( ( ( cls ` J ) ` o ) i^i d ) = (/) ) ) ) ) )
4	3	impd 447	. . . 4 |- ( J e. Nrm -> ( ( c e. ( Clsd ` J ) /\ d e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( c i^i d ) = (/) -> E. o e. J ( c C_ o /\ ( ( ( cls ` J ) ` o ) i^i d ) = (/) ) ) ) )
5	4	ralrimivv 2970	. . 3 |- ( J e. Nrm -> A. c e. ( Clsd ` J ) A. d e. ( Clsd ` J ) ( ( c i^i d ) = (/) -> E. o e. J ( c C_ o /\ ( ( ( cls ` J ) ` o ) i^i d ) = (/) ) ) )
6	1, 5	jca 554	. 2 |- ( J e. Nrm -> ( J e. Top /\ A. c e. ( Clsd ` J ) A. d e. ( Clsd ` J ) ( ( c i^i d ) = (/) -> E. o e. J ( c C_ o /\ ( ( ( cls ` J ) ` o ) i^i d ) = (/) ) ) ) )
7		simpl 473	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ A. c e. ( Clsd ` J ) A. d e. ( Clsd ` J ) ( ( c i^i d ) = (/) -> E. o e. J ( c C_ o /\ ( ( ( cls ` J ) ` o ) i^i d ) = (/) ) ) ) -> J e. Top )
8		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- U. J = U. J
9	8	opncld 20837	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ x e. J ) -> ( U. J \ x ) e. ( Clsd ` J ) )
10	9	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ x e. J ) /\ c e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. J \ x ) e. ( Clsd ` J ) )
11		ineq2 3808	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d = ( U. J \ x ) -> ( c i^i d ) = ( c i^i ( U. J \ x ) ) )
12	11	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( d = ( U. J \ x ) -> ( ( c i^i d ) = (/) <-> ( c i^i ( U. J \ x ) ) = (/) ) )
13		ineq2 3808	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d = ( U. J \ x ) -> ( ( ( cls ` J ) ` o ) i^i d ) = ( ( ( cls ` J ) ` o ) i^i ( U. J \ x ) ) )
14	13	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d = ( U. J \ x ) -> ( ( ( ( cls ` J ) ` o ) i^i d ) = (/) <-> ( ( ( cls ` J ) ` o ) i^i ( U. J \ x ) ) = (/) ) )
15	14	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d = ( U. J \ x ) -> ( ( c C_ o /\ ( ( ( cls ` J ) ` o ) i^i d ) = (/) ) <-> ( c C_ o /\ ( ( ( cls ` J ) ` o ) i^i ( U. J \ x ) ) = (/) ) ) )
16	15	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . 11 |- ( d = ( U. J \ x ) -> ( E. o e. J ( c C_ o /\ ( ( ( cls ` J ) ` o ) i^i d ) = (/) ) <-> E. o e. J ( c C_ o /\ ( ( ( cls ` J ) ` o ) i^i ( U. J \ x ) ) = (/) ) ) )
17	12, 16	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( d = ( U. J \ x ) -> ( ( ( c i^i d ) = (/) -> E. o e. J ( c C_ o /\ ( ( ( cls ` J ) ` o ) i^i d ) = (/) ) ) <-> ( ( c i^i ( U. J \ x ) ) = (/) -> E. o e. J ( c C_ o /\ ( ( ( cls ` J ) ` o ) i^i ( U. J \ x ) ) = (/) ) ) ) )
18	17	rspcv 3305	. . . . . . . . 9 |- ( ( U. J \ x ) e. ( Clsd ` J ) -> ( A. d e. ( Clsd ` J ) ( ( c i^i d ) = (/) -> E. o e. J ( c C_ o /\ ( ( ( cls ` J ) ` o ) i^i d ) = (/) ) ) -> ( ( c i^i ( U. J \ x ) ) = (/) -> E. o e. J ( c C_ o /\ ( ( ( cls ` J ) ` o ) i^i ( U. J \ x ) ) = (/) ) ) ) )
19	10, 18	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ x e. J ) /\ c e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A. d e. ( Clsd ` J ) ( ( c i^i d ) = (/) -> E. o e. J ( c C_ o /\ ( ( ( cls ` J ) ` o ) i^i d ) = (/) ) ) -> ( ( c i^i ( U. J \ x ) ) = (/) -> E. o e. J ( c C_ o /\ ( ( ( cls ` J ) ` o ) i^i ( U. J \ x ) ) = (/) ) ) ) )
20		inssdif0 3947	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c i^i U. J ) C_ x <-> ( c i^i ( U. J \ x ) ) = (/) )
21	8	cldss 20833	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c e. ( Clsd ` J ) -> c C_ U. J )
22	21	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ x e. J ) /\ c e. ( Clsd ` J ) ) -> c C_ U. J )
23		df-ss 3588	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c C_ U. J <-> ( c i^i U. J ) = c )
24	22, 23	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ x e. J ) /\ c e. ( Clsd ` J ) ) -> ( c i^i U. J ) = c )
25	24	sseq1d 3632	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ x e. J ) /\ c e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( c i^i U. J ) C_ x <-> c C_ x ) )
26	20, 25	syl5bbr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ x e. J ) /\ c e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( c i^i ( U. J \ x ) ) = (/) <-> c C_ x ) )
27		inssdif0 3947	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( cls ` J ) ` o ) i^i U. J ) C_ x <-> ( ( ( cls ` J ) ` o ) i^i ( U. J \ x ) ) = (/) )
28		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J e. Top /\ x e. J ) /\ c e. ( Clsd ` J ) ) -> J e. Top )
29		elssuni 4467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( o e. J -> o C_ U. J )
30	8	clsss3 20863	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. Top /\ o C_ U. J ) -> ( ( cls ` J ) ` o ) C_ U. J )
31	28, 29, 30	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. Top /\ x e. J ) /\ c e. ( Clsd ` J ) ) /\ o e. J ) -> ( ( cls ` J ) ` o ) C_ U. J )
32		df-ss 3588	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( cls ` J ) ` o ) C_ U. J <-> ( ( ( cls ` J ) ` o ) i^i U. J ) = ( ( cls ` J ) ` o ) )
33	31, 32	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Top /\ x e. J ) /\ c e. ( Clsd ` J ) ) /\ o e. J ) -> ( ( ( cls ` J ) ` o ) i^i U. J ) = ( ( cls ` J ) ` o ) )
34	33	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Top /\ x e. J ) /\ c e. ( Clsd ` J ) ) /\ o e. J ) -> ( ( ( ( cls ` J ) ` o ) i^i U. J ) C_ x <-> ( ( cls ` J ) ` o ) C_ x ) )
35	27, 34	syl5bbr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Top /\ x e. J ) /\ c e. ( Clsd ` J ) ) /\ o e. J ) -> ( ( ( ( cls ` J ) ` o ) i^i ( U. J \ x ) ) = (/) <-> ( ( cls ` J ) ` o ) C_ x ) )
36	35	anbi2d 740	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Top /\ x e. J ) /\ c e. ( Clsd ` J ) ) /\ o e. J ) -> ( ( c C_ o /\ ( ( ( cls ` J ) ` o ) i^i ( U. J \ x ) ) = (/) ) <-> ( c C_ o /\ ( ( cls ` J ) ` o ) C_ x ) ) )
37	36	rexbidva 3049	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ x e. J ) /\ c e. ( Clsd ` J ) ) -> ( E. o e. J ( c C_ o /\ ( ( ( cls ` J ) ` o ) i^i ( U. J \ x ) ) = (/) ) <-> E. o e. J ( c C_ o /\ ( ( cls ` J ) ` o ) C_ x ) ) )
38	26, 37	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ x e. J ) /\ c e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( ( c i^i ( U. J \ x ) ) = (/) -> E. o e. J ( c C_ o /\ ( ( ( cls ` J ) ` o ) i^i ( U. J \ x ) ) = (/) ) ) <-> ( c C_ x -> E. o e. J ( c C_ o /\ ( ( cls ` J ) ` o ) C_ x ) ) ) )
39	19, 38	sylibd 229	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ x e. J ) /\ c e. ( Clsd ` J ) ) -> ( A. d e. ( Clsd ` J ) ( ( c i^i d ) = (/) -> E. o e. J ( c C_ o /\ ( ( ( cls ` J ) ` o ) i^i d ) = (/) ) ) -> ( c C_ x -> E. o e. J ( c C_ o /\ ( ( cls ` J ) ` o ) C_ x ) ) ) )
40	39	ralimdva 2962	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ x e. J ) -> ( A. c e. ( Clsd ` J ) A. d e. ( Clsd ` J ) ( ( c i^i d ) = (/) -> E. o e. J ( c C_ o /\ ( ( ( cls ` J ) ` o ) i^i d ) = (/) ) ) -> A. c e. ( Clsd ` J ) ( c C_ x -> E. o e. J ( c C_ o /\ ( ( cls ` J ) ` o ) C_ x ) ) ) )
41		elin 3796	. . . . . . . . . 10 |- ( c e. ( ( Clsd ` J ) i^i ~P x ) <-> ( c e. ( Clsd ` J ) /\ c e. ~P x ) )
42		selpw 4165	. . . . . . . . . . 11 |- ( c e. ~P x <-> c C_ x )
43	42	anbi2i 730	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c e. ( Clsd ` J ) /\ c e. ~P x ) <-> ( c e. ( Clsd ` J ) /\ c C_ x ) )
44	41, 43	bitri 264	. . . . . . . . 9 |- ( c e. ( ( Clsd ` J ) i^i ~P x ) <-> ( c e. ( Clsd ` J ) /\ c C_ x ) )
45	44	imbi1i 339	. . . . . . . 8 |- ( ( c e. ( ( Clsd ` J ) i^i ~P x ) -> E. o e. J ( c C_ o /\ ( ( cls ` J ) ` o ) C_ x ) ) <-> ( ( c e. ( Clsd ` J ) /\ c C_ x ) -> E. o e. J ( c C_ o /\ ( ( cls ` J ) ` o ) C_ x ) ) )
46		impexp 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ( c e. ( Clsd ` J ) /\ c C_ x ) -> E. o e. J ( c C_ o /\ ( ( cls ` J ) ` o ) C_ x ) ) <-> ( c e. ( Clsd ` J ) -> ( c C_ x -> E. o e. J ( c C_ o /\ ( ( cls ` J ) ` o ) C_ x ) ) ) )
47	45, 46	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( ( c e. ( ( Clsd ` J ) i^i ~P x ) -> E. o e. J ( c C_ o /\ ( ( cls ` J ) ` o ) C_ x ) ) <-> ( c e. ( Clsd ` J ) -> ( c C_ x -> E. o e. J ( c C_ o /\ ( ( cls ` J ) ` o ) C_ x ) ) ) )
48	47	ralbii2 2978	. . . . . 6 |- ( A. c e. ( ( Clsd ` J ) i^i ~P x ) E. o e. J ( c C_ o /\ ( ( cls ` J ) ` o ) C_ x ) <-> A. c e. ( Clsd ` J ) ( c C_ x -> E. o e. J ( c C_ o /\ ( ( cls ` J ) ` o ) C_ x ) ) )
49	40, 48	syl6ibr 242	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ x e. J ) -> ( A. c e. ( Clsd ` J ) A. d e. ( Clsd ` J ) ( ( c i^i d ) = (/) -> E. o e. J ( c C_ o /\ ( ( ( cls ` J ) ` o ) i^i d ) = (/) ) ) -> A. c e. ( ( Clsd ` J ) i^i ~P x ) E. o e. J ( c C_ o /\ ( ( cls ` J ) ` o ) C_ x ) ) )
50	49	ralrimdva 2969	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( A. c e. ( Clsd ` J ) A. d e. ( Clsd ` J ) ( ( c i^i d ) = (/) -> E. o e. J ( c C_ o /\ ( ( ( cls ` J ) ` o ) i^i d ) = (/) ) ) -> A. x e. J A. c e. ( ( Clsd ` J ) i^i ~P x ) E. o e. J ( c C_ o /\ ( ( cls ` J ) ` o ) C_ x ) ) )
51	50	imp 445	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ A. c e. ( Clsd ` J ) A. d e. ( Clsd ` J ) ( ( c i^i d ) = (/) -> E. o e. J ( c C_ o /\ ( ( ( cls ` J ) ` o ) i^i d ) = (/) ) ) ) -> A. x e. J A. c e. ( ( Clsd ` J ) i^i ~P x ) E. o e. J ( c C_ o /\ ( ( cls ` J ) ` o ) C_ x ) )
52		isnrm 21139	. . 3 |- ( J e. Nrm <-> ( J e. Top /\ A. x e. J A. c e. ( ( Clsd ` J ) i^i ~P x ) E. o e. J ( c C_ o /\ ( ( cls ` J ) ` o ) C_ x ) ) )
53	7, 51, 52	sylanbrc 698	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A. c e. ( Clsd ` J ) A. d e. ( Clsd ` J ) ( ( c i^i d ) = (/) -> E. o e. J ( c C_ o /\ ( ( ( cls ` J ) ` o ) i^i d ) = (/) ) ) ) -> J e. Nrm )
54	6, 53	impbii 199	1 |- ( J e. Nrm <-> ( J e. Top /\ A. c e. ( Clsd ` J ) A. d e. ( Clsd ` J ) ( ( c i^i d ) = (/) -> E. o e. J ( c C_ o /\ ( ( ( cls ` J ) ` o ) i^i d ) = (/) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   ` cfv 5888   Topctop 20698   Clsdccld 20820   clsccl 20822   Nrmcnrm 21114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-top 20699  df-cld 20823  df-cls 20825  df-nrm 21121

This theorem is referenced by:  isnrm3  21163