Theorem ntrclskb 38367

Description: The interiors of disjoint sets are disjoint if and only if the closures of sets that span the base set also span the base set. (Contributed by RP, 10-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrcls.o	|- O = ( i e. _V |-> ( k e. ( ~P i ^m ~P i ) |-> ( j e. ~P i |-> ( i \ ( k ` ( i \ j ) ) ) ) ) )
ntrcls.d	|- D = ( O ` B )
ntrcls.r	|- ( ph -> I D K )

Assertion

Ref	Expression
ntrclskb	|- ( ph -> ( A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( ( s i^i t ) = (/) -> ( ( I ` s ) i^i ( I ` t ) ) = (/) ) <-> A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( ( s u. t ) = B -> ( ( K ` s ) u. ( K ` t ) ) = B ) ) )

Distinct variable groups:   B, s, t, i, j, k   I, s, t, j, k   ph, s, t, i, j, k

Allowed substitution hints:   D( t, i, j, k, s)   I( i)   K( t, i, j, k, s)   O( t, i, j, k, s)

Proof of Theorem ntrclskb

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq1 3807	. . . . 5 |- ( s = a -> ( s i^i t ) = ( a i^i t ) )
2	1	eqeq1d 2624	. . . 4 |- ( s = a -> ( ( s i^i t ) = (/) <-> ( a i^i t ) = (/) ) )
3		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( s = a -> ( I ` s ) = ( I ` a ) )
4	3	ineq1d 3813	. . . . 5 |- ( s = a -> ( ( I ` s ) i^i ( I ` t ) ) = ( ( I ` a ) i^i ( I ` t ) ) )
5	4	eqeq1d 2624	. . . 4 |- ( s = a -> ( ( ( I ` s ) i^i ( I ` t ) ) = (/) <-> ( ( I ` a ) i^i ( I ` t ) ) = (/) ) )
6	2, 5	imbi12d 334	. . 3 |- ( s = a -> ( ( ( s i^i t ) = (/) -> ( ( I ` s ) i^i ( I ` t ) ) = (/) ) <-> ( ( a i^i t ) = (/) -> ( ( I ` a ) i^i ( I ` t ) ) = (/) ) ) )
7		ineq2 3808	. . . . 5 |- ( t = b -> ( a i^i t ) = ( a i^i b ) )
8	7	eqeq1d 2624	. . . 4 |- ( t = b -> ( ( a i^i t ) = (/) <-> ( a i^i b ) = (/) ) )
9		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( t = b -> ( I ` t ) = ( I ` b ) )
10	9	ineq2d 3814	. . . . 5 |- ( t = b -> ( ( I ` a ) i^i ( I ` t ) ) = ( ( I ` a ) i^i ( I ` b ) ) )
11	10	eqeq1d 2624	. . . 4 |- ( t = b -> ( ( ( I ` a ) i^i ( I ` t ) ) = (/) <-> ( ( I ` a ) i^i ( I ` b ) ) = (/) ) )
12	8, 11	imbi12d 334	. . 3 |- ( t = b -> ( ( ( a i^i t ) = (/) -> ( ( I ` a ) i^i ( I ` t ) ) = (/) ) <-> ( ( a i^i b ) = (/) -> ( ( I ` a ) i^i ( I ` b ) ) = (/) ) ) )
13	6, 12	cbvral2v 3179	. 2 |- ( A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( ( s i^i t ) = (/) -> ( ( I ` s ) i^i ( I ` t ) ) = (/) ) <-> A. a e. ~P B A. b e. ~P B ( ( a i^i b ) = (/) -> ( ( I ` a ) i^i ( I ` b ) ) = (/) ) )
14		ntrcls.d	. . . . 5 |- D = ( O ` B )
15		ntrcls.r	. . . . 5 |- ( ph -> I D K )
16	14, 15	ntrclsrcomplex 38333	. . . 4 |- ( ph -> ( B \ s ) e. ~P B )
17	16	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ~P B ) -> ( B \ s ) e. ~P B )
18	14, 15	ntrclsrcomplex 38333	. . . . 5 |- ( ph -> ( B \ a ) e. ~P B )
19	18	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. ~P B ) -> ( B \ a ) e. ~P B )
20		difeq2 3722	. . . . . 6 |- ( s = ( B \ a ) -> ( B \ s ) = ( B \ ( B \ a ) ) )
21	20	eqeq2d 2632	. . . . 5 |- ( s = ( B \ a ) -> ( a = ( B \ s ) <-> a = ( B \ ( B \ a ) ) ) )
22	21	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ a e. ~P B ) /\ s = ( B \ a ) ) -> ( a = ( B \ s ) <-> a = ( B \ ( B \ a ) ) ) )
23		elpwi 4168	. . . . . . 7 |- ( a e. ~P B -> a C_ B )
24		dfss4 3858	. . . . . . 7 |- ( a C_ B <-> ( B \ ( B \ a ) ) = a )
25	23, 24	sylib 208	. . . . . 6 |- ( a e. ~P B -> ( B \ ( B \ a ) ) = a )
26	25	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( a e. ~P B -> a = ( B \ ( B \ a ) ) )
27	26	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. ~P B ) -> a = ( B \ ( B \ a ) ) )
28	19, 22, 27	rspcedvd 3317	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. ~P B ) -> E. s e. ~P B a = ( B \ s ) )
29		simpl1 1064	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B /\ a = ( B \ s ) ) /\ t e. ~P B ) -> ph )
30	14, 15	ntrclsrcomplex 38333	. . . . 5 |- ( ph -> ( B \ t ) e. ~P B )
31	29, 30	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B /\ a = ( B \ s ) ) /\ t e. ~P B ) -> ( B \ t ) e. ~P B )
32	14, 15	ntrclsrcomplex 38333	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B \ b ) e. ~P B )
33	32	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ b e. ~P B ) -> ( B \ b ) e. ~P B )
34		difeq2 3722	. . . . . . . 8 |- ( t = ( B \ b ) -> ( B \ t ) = ( B \ ( B \ b ) ) )
35	34	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( t = ( B \ b ) -> ( b = ( B \ t ) <-> b = ( B \ ( B \ b ) ) ) )
36	35	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ b e. ~P B ) /\ t = ( B \ b ) ) -> ( b = ( B \ t ) <-> b = ( B \ ( B \ b ) ) ) )
37		elpwi 4168	. . . . . . . . 9 |- ( b e. ~P B -> b C_ B )
38		dfss4 3858	. . . . . . . . 9 |- ( b C_ B <-> ( B \ ( B \ b ) ) = b )
39	37, 38	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( b e. ~P B -> ( B \ ( B \ b ) ) = b )
40	39	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( b e. ~P B -> b = ( B \ ( B \ b ) ) )
41	40	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ b e. ~P B ) -> b = ( B \ ( B \ b ) ) )
42	33, 36, 41	rspcedvd 3317	. . . . 5 |- ( ( ph /\ b e. ~P B ) -> E. t e. ~P B b = ( B \ t ) )
43	42	3ad2antl1 1223	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B /\ a = ( B \ s ) ) /\ b e. ~P B ) -> E. t e. ~P B b = ( B \ t ) )
44		simp13 1093	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B /\ a = ( B \ s ) ) /\ t e. ~P B /\ b = ( B \ t ) ) -> a = ( B \ s ) )
45		ineq1 3807	. . . . . . . 8 |- ( a = ( B \ s ) -> ( a i^i b ) = ( ( B \ s ) i^i b ) )
46	45	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( a = ( B \ s ) -> ( ( a i^i b ) = (/) <-> ( ( B \ s ) i^i b ) = (/) ) )
47		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( B \ s ) -> ( I ` a ) = ( I ` ( B \ s ) ) )
48	47	ineq1d 3813	. . . . . . . 8 |- ( a = ( B \ s ) -> ( ( I ` a ) i^i ( I ` b ) ) = ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` b ) ) )
49	48	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( a = ( B \ s ) -> ( ( ( I ` a ) i^i ( I ` b ) ) = (/) <-> ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` b ) ) = (/) ) )
50	46, 49	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( a = ( B \ s ) -> ( ( ( a i^i b ) = (/) -> ( ( I ` a ) i^i ( I ` b ) ) = (/) ) <-> ( ( ( B \ s ) i^i b ) = (/) -> ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` b ) ) = (/) ) ) )
51	44, 50	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B /\ a = ( B \ s ) ) /\ t e. ~P B /\ b = ( B \ t ) ) -> ( ( ( a i^i b ) = (/) -> ( ( I ` a ) i^i ( I ` b ) ) = (/) ) <-> ( ( ( B \ s ) i^i b ) = (/) -> ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` b ) ) = (/) ) ) )
52		simp3 1063	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B /\ a = ( B \ s ) ) /\ t e. ~P B /\ b = ( B \ t ) ) -> b = ( B \ t ) )
53		ineq2 3808	. . . . . . . 8 |- ( b = ( B \ t ) -> ( ( B \ s ) i^i b ) = ( ( B \ s ) i^i ( B \ t ) ) )
54	53	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( b = ( B \ t ) -> ( ( ( B \ s ) i^i b ) = (/) <-> ( ( B \ s ) i^i ( B \ t ) ) = (/) ) )
55		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( b = ( B \ t ) -> ( I ` b ) = ( I ` ( B \ t ) ) )
56	55	ineq2d 3814	. . . . . . . 8 |- ( b = ( B \ t ) -> ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` b ) ) = ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) )
57	56	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( b = ( B \ t ) -> ( ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` b ) ) = (/) <-> ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) = (/) ) )
58	54, 57	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( b = ( B \ t ) -> ( ( ( ( B \ s ) i^i b ) = (/) -> ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` b ) ) = (/) ) <-> ( ( ( B \ s ) i^i ( B \ t ) ) = (/) -> ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) = (/) ) ) )
59	52, 58	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B /\ a = ( B \ s ) ) /\ t e. ~P B /\ b = ( B \ t ) ) -> ( ( ( ( B \ s ) i^i b ) = (/) -> ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` b ) ) = (/) ) <-> ( ( ( B \ s ) i^i ( B \ t ) ) = (/) -> ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) = (/) ) ) )
60		simp11 1091	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B /\ a = ( B \ s ) ) /\ t e. ~P B /\ b = ( B \ t ) ) -> ph )
61		simp12 1092	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B /\ a = ( B \ s ) ) /\ t e. ~P B /\ b = ( B \ t ) ) -> s e. ~P B )
62		simp2 1062	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B /\ a = ( B \ s ) ) /\ t e. ~P B /\ b = ( B \ t ) ) -> t e. ~P B )
63		simp2 1062	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ~P B /\ t e. ~P B ) -> s e. ~P B )
64	63	elpwid 4170	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ~P B /\ t e. ~P B ) -> s C_ B )
65		simp3 1063	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ~P B /\ t e. ~P B ) -> t e. ~P B )
66	65	elpwid 4170	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ~P B /\ t e. ~P B ) -> t C_ B )
67	64, 66	unssd 3789	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ~P B /\ t e. ~P B ) -> ( s u. t ) C_ B )
68		ssid 3624	. . . . . . . . . 10 |- B C_ B
69		rcompleq 38318	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( s u. t ) C_ B /\ B C_ B ) -> ( ( s u. t ) = B <-> ( B \ ( s u. t ) ) = ( B \ B ) ) )
70	67, 68, 69	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ~P B /\ t e. ~P B ) -> ( ( s u. t ) = B <-> ( B \ ( s u. t ) ) = ( B \ B ) ) )
71		difundi 3879	. . . . . . . . . 10 |- ( B \ ( s u. t ) ) = ( ( B \ s ) i^i ( B \ t ) )
72		difid 3948	. . . . . . . . . 10 |- ( B \ B ) = (/)
73	71, 72	eqeq12i 2636	. . . . . . . . 9 |- ( ( B \ ( s u. t ) ) = ( B \ B ) <-> ( ( B \ s ) i^i ( B \ t ) ) = (/) )
74	70, 73	syl6rbb 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ~P B /\ t e. ~P B ) -> ( ( ( B \ s ) i^i ( B \ t ) ) = (/) <-> ( s u. t ) = B ) )
75		ntrcls.o	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- O = ( i e. _V |-> ( k e. ( ~P i ^m ~P i ) |-> ( j e. ~P i |-> ( i \ ( k ` ( i \ j ) ) ) ) ) )
76	75, 14, 15	ntrclsiex 38351	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> I e. ( ~P B ^m ~P B ) )
77	76	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ~P B /\ t e. ~P B ) -> I e. ( ~P B ^m ~P B ) )
78		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( I e. ( ~P B ^m ~P B ) -> I : ~P B --> ~P B )
79	77, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ~P B /\ t e. ~P B ) -> I : ~P B --> ~P B )
80	14, 15	ntrclsbex 38332	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B e. _V )
81	80	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ~P B /\ t e. ~P B ) -> B e. _V )
82		difssd 3738	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ~P B /\ t e. ~P B ) -> ( B \ s ) C_ B )
83	81, 82	sselpwd 4807	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ~P B /\ t e. ~P B ) -> ( B \ s ) e. ~P B )
84	79, 83	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ~P B /\ t e. ~P B ) -> ( I ` ( B \ s ) ) e. ~P B )
85	84	elpwid 4170	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ~P B /\ t e. ~P B ) -> ( I ` ( B \ s ) ) C_ B )
86		ssinss1 3841	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I ` ( B \ s ) ) C_ B -> ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) C_ B )
87	85, 86	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ~P B /\ t e. ~P B ) -> ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) C_ B )
88		0ss 3972	. . . . . . . . . 10 |- (/) C_ B
89		rcompleq 38318	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) C_ B /\ (/) C_ B ) -> ( ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) = (/) <-> ( B \ ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) ) = ( B \ (/) ) ) )
90	87, 88, 89	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ~P B /\ t e. ~P B ) -> ( ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) = (/) <-> ( B \ ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) ) = ( B \ (/) ) ) )
91		difindi 3881	. . . . . . . . . 10 |- ( B \ ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) ) = ( ( B \ ( I ` ( B \ s ) ) ) u. ( B \ ( I ` ( B \ t ) ) ) )
92		dif0 3950	. . . . . . . . . 10 |- ( B \ (/) ) = B
93	91, 92	eqeq12i 2636	. . . . . . . . 9 |- ( ( B \ ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) ) = ( B \ (/) ) <-> ( ( B \ ( I ` ( B \ s ) ) ) u. ( B \ ( I ` ( B \ t ) ) ) ) = B )
94	90, 93	syl6bb 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ~P B /\ t e. ~P B ) -> ( ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) = (/) <-> ( ( B \ ( I ` ( B \ s ) ) ) u. ( B \ ( I ` ( B \ t ) ) ) ) = B ) )
95	74, 94	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ~P B /\ t e. ~P B ) -> ( ( ( ( B \ s ) i^i ( B \ t ) ) = (/) -> ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) = (/) ) <-> ( ( s u. t ) = B -> ( ( B \ ( I ` ( B \ s ) ) ) u. ( B \ ( I ` ( B \ t ) ) ) ) = B ) ) )
96		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( D ` I ) = ( D ` I )
97		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D ` I ) ` s ) = ( ( D ` I ) ` s )
98	75, 14, 81, 77, 96, 63, 97	dssmapfv3d 38313	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ~P B /\ t e. ~P B ) -> ( ( D ` I ) ` s ) = ( B \ ( I ` ( B \ s ) ) ) )
99		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D ` I ) ` t ) = ( ( D ` I ) ` t )
100	75, 14, 81, 77, 96, 65, 99	dssmapfv3d 38313	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ~P B /\ t e. ~P B ) -> ( ( D ` I ) ` t ) = ( B \ ( I ` ( B \ t ) ) ) )
101	98, 100	uneq12d 3768	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ~P B /\ t e. ~P B ) -> ( ( ( D ` I ) ` s ) u. ( ( D ` I ) ` t ) ) = ( ( B \ ( I ` ( B \ s ) ) ) u. ( B \ ( I ` ( B \ t ) ) ) ) )
102	75, 14, 15	ntrclsfv1 38353	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( D ` I ) = K )
103	102	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ~P B /\ t e. ~P B ) -> ( D ` I ) = K )
104		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D ` I ) = K -> ( ( D ` I ) ` s ) = ( K ` s ) )
105		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D ` I ) = K -> ( ( D ` I ) ` t ) = ( K ` t ) )
106	104, 105	uneq12d 3768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D ` I ) = K -> ( ( ( D ` I ) ` s ) u. ( ( D ` I ) ` t ) ) = ( ( K ` s ) u. ( K ` t ) ) )
107	103, 106	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ~P B /\ t e. ~P B ) -> ( ( ( D ` I ) ` s ) u. ( ( D ` I ) ` t ) ) = ( ( K ` s ) u. ( K ` t ) ) )
108	101, 107	eqtr3d 2658	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ~P B /\ t e. ~P B ) -> ( ( B \ ( I ` ( B \ s ) ) ) u. ( B \ ( I ` ( B \ t ) ) ) ) = ( ( K ` s ) u. ( K ` t ) ) )
109	108	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ~P B /\ t e. ~P B ) -> ( ( ( B \ ( I ` ( B \ s ) ) ) u. ( B \ ( I ` ( B \ t ) ) ) ) = B <-> ( ( K ` s ) u. ( K ` t ) ) = B ) )
110	109	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ~P B /\ t e. ~P B ) -> ( ( ( s u. t ) = B -> ( ( B \ ( I ` ( B \ s ) ) ) u. ( B \ ( I ` ( B \ t ) ) ) ) = B ) <-> ( ( s u. t ) = B -> ( ( K ` s ) u. ( K ` t ) ) = B ) ) )
111	95, 110	bitrd 268	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ~P B /\ t e. ~P B ) -> ( ( ( ( B \ s ) i^i ( B \ t ) ) = (/) -> ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) = (/) ) <-> ( ( s u. t ) = B -> ( ( K ` s ) u. ( K ` t ) ) = B ) ) )
112	60, 61, 62, 111	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B /\ a = ( B \ s ) ) /\ t e. ~P B /\ b = ( B \ t ) ) -> ( ( ( ( B \ s ) i^i ( B \ t ) ) = (/) -> ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) = (/) ) <-> ( ( s u. t ) = B -> ( ( K ` s ) u. ( K ` t ) ) = B ) ) )
113	51, 59, 112	3bitrd 294	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B /\ a = ( B \ s ) ) /\ t e. ~P B /\ b = ( B \ t ) ) -> ( ( ( a i^i b ) = (/) -> ( ( I ` a ) i^i ( I ` b ) ) = (/) ) <-> ( ( s u. t ) = B -> ( ( K ` s ) u. ( K ` t ) ) = B ) ) )
114	31, 43, 113	ralxfrd2 4884	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ~P B /\ a = ( B \ s ) ) -> ( A. b e. ~P B ( ( a i^i b ) = (/) -> ( ( I ` a ) i^i ( I ` b ) ) = (/) ) <-> A. t e. ~P B ( ( s u. t ) = B -> ( ( K ` s ) u. ( K ` t ) ) = B ) ) )
115	17, 28, 114	ralxfrd2 4884	. 2 |- ( ph -> ( A. a e. ~P B A. b e. ~P B ( ( a i^i b ) = (/) -> ( ( I ` a ) i^i ( I ` b ) ) = (/) ) <-> A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( ( s u. t ) = B -> ( ( K ` s ) u. ( K ` t ) ) = B ) ) )
116	13, 115	syl5bb 272	1 |- ( ph -> ( A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( ( s i^i t ) = (/) -> ( ( I ` s ) i^i ( I ` t ) ) = (/) ) <-> A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( ( s u. t ) = B -> ( ( K ` s ) u. ( K ` t ) ) = B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859

This theorem is referenced by: (None)