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Theorem ntrclsk3 38368
Description: The intersection of interiors of a every pair is a subset of the interior of the intersection of the pair if an only if the closure of the union of every pair is a subset of the union of closures of the pair. (Contributed by RP, 19-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrcls.o |- O = ( i e. _V |-> ( k e. ( ~P i ^m ~P i ) |-> ( j e. ~P i |-> ( i \ ( k ` ( i \ j ) ) ) ) ) )
ntrcls.d |- D = ( O ` B )
ntrcls.r |- ( ph -> I D K )
Assertion
Ref Expression
ntrclsk3 |- ( ph -> ( A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( ( I ` s ) i^i ( I ` t ) ) C_ ( I ` ( s i^i t ) ) <-> A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( K ` ( s u. t ) ) C_ ( ( K ` s ) u. ( K ` t ) ) ) )
Distinct variable groups:   B, s, t, i, j, k   I, s, t, i, j, k   ph, s, t, i, j, k
Allowed substitution hints:   D( t, i, j, k, s)   K( t, i, j, k, s)   O( t, i, j, k, s)
Proof of Theorem ntrclsk3
Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6191 . . . . 5 |- ( s = a -> ( I ` s ) = ( I ` a ) )
21ineq1d 3813 . . . 4 |- ( s = a -> ( ( I ` s ) i^i ( I ` t ) ) = ( ( I ` a ) i^i ( I ` t ) ) )
3 ineq1 3807 . . . . 5 |- ( s = a -> ( s i^i t ) = ( a i^i t ) )
43fveq2d 6195 . . . 4 |- ( s = a -> ( I ` ( s i^i t ) ) = ( I ` ( a i^i t ) ) )
52, 4sseq12d 3634 . . 3 |- ( s = a -> ( ( ( I ` s ) i^i ( I ` t ) ) C_ ( I ` ( s i^i t ) ) <-> ( ( I ` a ) i^i ( I ` t ) ) C_ ( I ` ( a i^i t ) ) ) )
6 fveq2 6191 . . . . 5 |- ( t = b -> ( I ` t ) = ( I ` b ) )
76ineq2d 3814 . . . 4 |- ( t = b -> ( ( I ` a ) i^i ( I ` t ) ) = ( ( I ` a ) i^i ( I ` b ) ) )
8 ineq2 3808 . . . . 5 |- ( t = b -> ( a i^i t ) = ( a i^i b ) )
98fveq2d 6195 . . . 4 |- ( t = b -> ( I ` ( a i^i t ) ) = ( I ` ( a i^i b ) ) )
107, 9sseq12d 3634 . . 3 |- ( t = b -> ( ( ( I ` a ) i^i ( I ` t ) ) C_ ( I ` ( a i^i t ) ) <-> ( ( I ` a ) i^i ( I ` b ) ) C_ ( I ` ( a i^i b ) ) ) )
115, 10cbvral2v 3179 . 2 |- ( A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( ( I ` s ) i^i ( I ` t ) ) C_ ( I ` ( s i^i t ) ) <-> A. a e. ~P B A. b e. ~P B ( ( I ` a ) i^i ( I ` b ) ) C_ ( I ` ( a i^i b ) ) )
12 ntrcls.d . . . . . 6 |- D = ( O ` B )
13 ntrcls.r . . . . . 6 |- ( ph -> I D K )
1412, 13ntrclsbex 38332 . . . . 5 |- ( ph -> B e. _V )
15 difssd 3738 . . . . 5 |- ( ph -> ( B \ s ) C_ B )
1614, 15sselpwd 4807 . . . 4 |- ( ph -> ( B \ s ) e. ~P B )
1716adantr 481 . . 3 |- ( ( ph /\ s e. ~P B ) -> ( B \ s ) e. ~P B )
18 elpwi 4168 . . . 4 |- ( a e. ~P B -> a C_ B )
19 simpl 473 . . . . . 6 |- ( ( B e. _V /\ a C_ B ) -> B e. _V )
20 difssd 3738 . . . . . 6 |- ( ( B e. _V /\ a C_ B ) -> ( B \ a ) C_ B )
2119, 20sselpwd 4807 . . . . 5 |- ( ( B e. _V /\ a C_ B ) -> ( B \ a ) e. ~P B )
22 simpr 477 . . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. _V /\ a C_ B ) /\ s = ( B \ a ) ) -> s = ( B \ a ) )
2322difeq2d 3728 . . . . . . 7 |- ( ( ( B e. _V /\ a C_ B ) /\ s = ( B \ a ) ) -> ( B \ s ) = ( B \ ( B \ a ) ) )
2423eqeq2d 2632 . . . . . 6 |- ( ( ( B e. _V /\ a C_ B ) /\ s = ( B \ a ) ) -> ( a = ( B \ s ) <-> a = ( B \ ( B \ a ) ) ) )
25 eqcom 2629 . . . . . 6 |- ( a = ( B \ ( B \ a ) ) <-> ( B \ ( B \ a ) ) = a )
2624, 25syl6bb 276 . . . . 5 |- ( ( ( B e. _V /\ a C_ B ) /\ s = ( B \ a ) ) -> ( a = ( B \ s ) <-> ( B \ ( B \ a ) ) = a ) )
27 dfss4 3858 . . . . . . 7 |- ( a C_ B <-> ( B \ ( B \ a ) ) = a )
2827biimpi 206 . . . . . 6 |- ( a C_ B -> ( B \ ( B \ a ) ) = a )
2928adantl 482 . . . . 5 |- ( ( B e. _V /\ a C_ B ) -> ( B \ ( B \ a ) ) = a )
3021, 26, 29rspcedvd 3317 . . . 4 |- ( ( B e. _V /\ a C_ B ) -> E. s e. ~P B a = ( B \ s ) )
3114, 18, 30syl2an 494 . . 3 |- ( ( ph /\ a e. ~P B ) -> E. s e. ~P B a = ( B \ s ) )
32 simpl1 1064 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B /\ a = ( B \ s ) ) /\ t e. ~P B ) -> ph )
33 difssd 3738 . . . . . 6 |- ( ph -> ( B \ t ) C_ B )
3414, 33sselpwd 4807 . . . . 5 |- ( ph -> ( B \ t ) e. ~P B )
3532, 34syl 17 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B /\ a = ( B \ s ) ) /\ t e. ~P B ) -> ( B \ t ) e. ~P B )
36 elpwi 4168 . . . . . 6 |- ( b e. ~P B -> b C_ B )
37 simpl 473 . . . . . . . 8 |- ( ( B e. _V /\ b C_ B ) -> B e. _V )
38 difssd 3738 . . . . . . . 8 |- ( ( B e. _V /\ b C_ B ) -> ( B \ b ) C_ B )
3937, 38sselpwd 4807 . . . . . . 7 |- ( ( B e. _V /\ b C_ B ) -> ( B \ b ) e. ~P B )
40 simpr 477 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. _V /\ b C_ B ) /\ t = ( B \ b ) ) -> t = ( B \ b ) )
4140difeq2d 3728 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. _V /\ b C_ B ) /\ t = ( B \ b ) ) -> ( B \ t ) = ( B \ ( B \ b ) ) )
4241eqeq2d 2632 . . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. _V /\ b C_ B ) /\ t = ( B \ b ) ) -> ( b = ( B \ t ) <-> b = ( B \ ( B \ b ) ) ) )
43 eqcom 2629 . . . . . . . 8 |- ( b = ( B \ ( B \ b ) ) <-> ( B \ ( B \ b ) ) = b )
4442, 43syl6bb 276 . . . . . . 7 |- ( ( ( B e. _V /\ b C_ B ) /\ t = ( B \ b ) ) -> ( b = ( B \ t ) <-> ( B \ ( B \ b ) ) = b ) )
45 dfss4 3858 . . . . . . . . 9 |- ( b C_ B <-> ( B \ ( B \ b ) ) = b )
4645biimpi 206 . . . . . . . 8 |- ( b C_ B -> ( B \ ( B \ b ) ) = b )
4746adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( B e. _V /\ b C_ B ) -> ( B \ ( B \ b ) ) = b )
4839, 44, 47rspcedvd 3317 . . . . . 6 |- ( ( B e. _V /\ b C_ B ) -> E. t e. ~P B b = ( B \ t ) )
4914, 36, 48syl2an 494 . . . . 5 |- ( ( ph /\ b e. ~P B ) -> E. t e. ~P B b = ( B \ t ) )
50493ad2antl1 1223 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B /\ a = ( B \ s ) ) /\ b e. ~P B ) -> E. t e. ~P B b = ( B \ t ) )
51 simp13 1093 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B /\ a = ( B \ s ) ) /\ t e. ~P B /\ b = ( B \ t ) ) -> a = ( B \ s ) )
52 fveq2 6191 . . . . . . . 8 |- ( a = ( B \ s ) -> ( I ` a ) = ( I ` ( B \ s ) ) )
5352ineq1d 3813 . . . . . . 7 |- ( a = ( B \ s ) -> ( ( I ` a ) i^i ( I ` b ) ) = ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` b ) ) )
54 ineq1 3807 . . . . . . . 8 |- ( a = ( B \ s ) -> ( a i^i b ) = ( ( B \ s ) i^i b ) )
5554fveq2d 6195 . . . . . . 7 |- ( a = ( B \ s ) -> ( I ` ( a i^i b ) ) = ( I ` ( ( B \ s ) i^i b ) ) )
5653, 55sseq12d 3634 . . . . . 6 |- ( a = ( B \ s ) -> ( ( ( I ` a ) i^i ( I ` b ) ) C_ ( I ` ( a i^i b ) ) <-> ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` b ) ) C_ ( I ` ( ( B \ s ) i^i b ) ) ) )
5751, 56syl 17 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B /\ a = ( B \ s ) ) /\ t e. ~P B /\ b = ( B \ t ) ) -> ( ( ( I ` a ) i^i ( I ` b ) ) C_ ( I ` ( a i^i b ) ) <-> ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` b ) ) C_ ( I ` ( ( B \ s ) i^i b ) ) ) )
58 fveq2 6191 . . . . . . . 8 |- ( b = ( B \ t ) -> ( I ` b ) = ( I ` ( B \ t ) ) )
5958ineq2d 3814 . . . . . . 7 |- ( b = ( B \ t ) -> ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` b ) ) = ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) )
60 ineq2 3808 . . . . . . . . 9 |- ( b = ( B \ t ) -> ( ( B \ s ) i^i b ) = ( ( B \ s ) i^i ( B \ t ) ) )
61 difundi 3879 . . . . . . . . 9 |- ( B \ ( s u. t ) ) = ( ( B \ s ) i^i ( B \ t ) )
6260, 61syl6eqr 2674 . . . . . . . 8 |- ( b = ( B \ t ) -> ( ( B \ s ) i^i b ) = ( B \ ( s u. t ) ) )
6362fveq2d 6195 . . . . . . 7 |- ( b = ( B \ t ) -> ( I ` ( ( B \ s ) i^i b ) ) = ( I ` ( B \ ( s u. t ) ) ) )
6459, 63sseq12d 3634 . . . . . 6 |- ( b = ( B \ t ) -> ( ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` b ) ) C_ ( I ` ( ( B \ s ) i^i b ) ) <-> ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) C_ ( I ` ( B \ ( s u. t ) ) ) ) )
65643ad2ant3 1084 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B /\ a = ( B \ s ) ) /\ t e. ~P B /\ b = ( B \ t ) ) -> ( ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` b ) ) C_ ( I ` ( ( B \ s ) i^i b ) ) <-> ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) C_ ( I ` ( B \ ( s u. t ) ) ) ) )
66 simp11 1091 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B /\ a = ( B \ s ) ) /\ t e. ~P B /\ b = ( B \ t ) ) -> ph )
67 ntrcls.o . . . . . . . . . 10 |- O = ( i e. _V |-> ( k e. ( ~P i ^m ~P i ) |-> ( j e. ~P i |-> ( i \ ( k ` ( i \ j ) ) ) ) ) )
6867, 12, 13ntrclsiex 38351 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> I e. ( ~P B ^m ~P B ) )
6968, 14jca 554 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( I e. ( ~P B ^m ~P B ) /\ B e. _V ) )
7066, 69syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B /\ a = ( B \ s ) ) /\ t e. ~P B /\ b = ( B \ t ) ) -> ( I e. ( ~P B ^m ~P B ) /\ B e. _V ) )
71 elmapi 7879 . . . . . . . . . . . 12 |- ( I e. ( ~P B ^m ~P B ) -> I : ~P B --> ~P B )
7271adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. ( ~P B ^m ~P B ) /\ B e. _V ) -> I : ~P B --> ~P B )
73 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. ( ~P B ^m ~P B ) /\ B e. _V ) -> B e. _V )
74 difssd 3738 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. ( ~P B ^m ~P B ) /\ B e. _V ) -> ( B \ s ) C_ B )
7573, 74sselpwd 4807 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. ( ~P B ^m ~P B ) /\ B e. _V ) -> ( B \ s ) e. ~P B )
7672, 75ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. ( ~P B ^m ~P B ) /\ B e. _V ) -> ( I ` ( B \ s ) ) e. ~P B )
7776elpwid 4170 . . . . . . . . 9 |- ( ( I e. ( ~P B ^m ~P B ) /\ B e. _V ) -> ( I ` ( B \ s ) ) C_ B )
78 orc 400 . . . . . . . . 9 |- ( ( I ` ( B \ s ) ) C_ B -> ( ( I ` ( B \ s ) ) C_ B \/ ( I ` ( B \ t ) ) C_ B ) )
79 inss 3842 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( I ` ( B \ s ) ) C_ B \/ ( I ` ( B \ t ) ) C_ B ) -> ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) C_ B )
8077, 78, 793syl 18 . . . . . . . 8 |- ( ( I e. ( ~P B ^m ~P B ) /\ B e. _V ) -> ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) C_ B )
81 difssd 3738 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. ( ~P B ^m ~P B ) /\ B e. _V ) -> ( B \ ( s u. t ) ) C_ B )
8273, 81sselpwd 4807 . . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. ( ~P B ^m ~P B ) /\ B e. _V ) -> ( B \ ( s u. t ) ) e. ~P B )
8372, 82ffvelrnd 6360 . . . . . . . . 9 |- ( ( I e. ( ~P B ^m ~P B ) /\ B e. _V ) -> ( I ` ( B \ ( s u. t ) ) ) e. ~P B )
8483elpwid 4170 . . . . . . . 8 |- ( ( I e. ( ~P B ^m ~P B ) /\ B e. _V ) -> ( I ` ( B \ ( s u. t ) ) ) C_ B )
8580, 84jca 554 . . . . . . 7 |- ( ( I e. ( ~P B ^m ~P B ) /\ B e. _V ) -> ( ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) C_ B /\ ( I ` ( B \ ( s u. t ) ) ) C_ B ) )
86 sscon34b 38317 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) C_ B /\ ( I ` ( B \ ( s u. t ) ) ) C_ B ) -> ( ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) C_ ( I ` ( B \ ( s u. t ) ) ) <-> ( B \ ( I ` ( B \ ( s u. t ) ) ) ) C_ ( B \ ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) ) ) )
8770, 85, 863syl 18 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B /\ a = ( B \ s ) ) /\ t e. ~P B /\ b = ( B \ t ) ) -> ( ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) C_ ( I ` ( B \ ( s u. t ) ) ) <-> ( B \ ( I ` ( B \ ( s u. t ) ) ) ) C_ ( B \ ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) ) ) )
88 difindi 3881 . . . . . . . 8 |- ( B \ ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) ) = ( ( B \ ( I ` ( B \ s ) ) ) u. ( B \ ( I ` ( B \ t ) ) ) )
8988sseq2i 3630 . . . . . . 7 |- ( ( B \ ( I ` ( B \ ( s u. t ) ) ) ) C_ ( B \ ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) ) <-> ( B \ ( I ` ( B \ ( s u. t ) ) ) ) C_ ( ( B \ ( I ` ( B \ s ) ) ) u. ( B \ ( I ` ( B \ t ) ) ) ) )
9089a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B /\ a = ( B \ s ) ) /\ t e. ~P B /\ b = ( B \ t ) ) -> ( ( B \ ( I ` ( B \ ( s u. t ) ) ) ) C_ ( B \ ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) ) <-> ( B \ ( I ` ( B \ ( s u. t ) ) ) ) C_ ( ( B \ ( I ` ( B \ s ) ) ) u. ( B \ ( I ` ( B \ t ) ) ) ) ) )
9166, 14syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B /\ a = ( B \ s ) ) /\ t e. ~P B /\ b = ( B \ t ) ) -> B e. _V )
9266, 68syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B /\ a = ( B \ s ) ) /\ t e. ~P B /\ b = ( B \ t ) ) -> I e. ( ~P B ^m ~P B ) )
93 simp12 1092 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B /\ a = ( B \ s ) ) /\ t e. ~P B /\ b = ( B \ t ) ) -> s e. ~P B )
94 rp-simp2 38087 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B /\ a = ( B \ s ) ) /\ t e. ~P B /\ b = ( B \ t ) ) -> t e. ~P B )
95 simpl2 1065 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B e. _V /\ I e. ( ~P B ^m ~P B ) ) /\ ( s e. ~P B /\ t e. ~P B ) ) -> B e. _V )
96 simpl3 1066 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B e. _V /\ I e. ( ~P B ^m ~P B ) ) /\ ( s e. ~P B /\ t e. ~P B ) ) -> I e. ( ~P B ^m ~P B ) )
97 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- ( D ` I ) = ( D ` I )
98 simpl 473 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. _V /\ ( s e. ~P B /\ t e. ~P B ) ) -> B e. _V )
99 simprl 794 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. _V /\ ( s e. ~P B /\ t e. ~P B ) ) -> s e. ~P B )
10099elpwid 4170 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. _V /\ ( s e. ~P B /\ t e. ~P B ) ) -> s C_ B )
101 simprr 796 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. _V /\ ( s e. ~P B /\ t e. ~P B ) ) -> t e. ~P B )
102101elpwid 4170 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. _V /\ ( s e. ~P B /\ t e. ~P B ) ) -> t C_ B )
103100, 102unssd 3789 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. _V /\ ( s e. ~P B /\ t e. ~P B ) ) -> ( s u. t ) C_ B )
10498, 103sselpwd 4807 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. _V /\ ( s e. ~P B /\ t e. ~P B ) ) -> ( s u. t ) e. ~P B )
1051043ad2antl2 1224 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B e. _V /\ I e. ( ~P B ^m ~P B ) ) /\ ( s e. ~P B /\ t e. ~P B ) ) -> ( s u. t ) e. ~P B )
106 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- ( ( D ` I ) ` ( s u. t ) ) = ( ( D ` I ) ` ( s u. t ) )
10767, 12, 95, 96, 97, 105, 106dssmapfv3d 38313 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ B e. _V /\ I e. ( ~P B ^m ~P B ) ) /\ ( s e. ~P B /\ t e. ~P B ) ) -> ( ( D ` I ) ` ( s u. t ) ) = ( B \ ( I ` ( B \ ( s u. t ) ) ) ) )
108 simpl1 1064 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B e. _V /\ I e. ( ~P B ^m ~P B ) ) /\ ( s e. ~P B /\ t e. ~P B ) ) -> ph )
10967, 12, 13ntrclsfv1 38353 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( D ` I ) = K )
110109fveq1d 6193 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( D ` I ) ` ( s u. t ) ) = ( K ` ( s u. t ) ) )
111108, 110syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ B e. _V /\ I e. ( ~P B ^m ~P B ) ) /\ ( s e. ~P B /\ t e. ~P B ) ) -> ( ( D ` I ) ` ( s u. t ) ) = ( K ` ( s u. t ) ) )
112107, 111eqtr3d 2658 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ B e. _V /\ I e. ( ~P B ^m ~P B ) ) /\ ( s e. ~P B /\ t e. ~P B ) ) -> ( B \ ( I ` ( B \ ( s u. t ) ) ) ) = ( K ` ( s u. t ) ) )
113 simprl 794 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ B e. _V /\ I e. ( ~P B ^m ~P B ) ) /\ ( s e. ~P B /\ t e. ~P B ) ) -> s e. ~P B )
114 eqid 2622 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( D ` I ) ` s ) = ( ( D ` I ) ` s )
11567, 12, 95, 96, 97, 113, 114dssmapfv3d 38313 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B e. _V /\ I e. ( ~P B ^m ~P B ) ) /\ ( s e. ~P B /\ t e. ~P B ) ) -> ( ( D ` I ) ` s ) = ( B \ ( I ` ( B \ s ) ) ) )
116109fveq1d 6193 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( D ` I ) ` s ) = ( K ` s ) )
117108, 116syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B e. _V /\ I e. ( ~P B ^m ~P B ) ) /\ ( s e. ~P B /\ t e. ~P B ) ) -> ( ( D ` I ) ` s ) = ( K ` s ) )
118115, 117eqtr3d 2658 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ B e. _V /\ I e. ( ~P B ^m ~P B ) ) /\ ( s e. ~P B /\ t e. ~P B ) ) -> ( B \ ( I ` ( B \ s ) ) ) = ( K ` s ) )
119 simprr 796 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ B e. _V /\ I e. ( ~P B ^m ~P B ) ) /\ ( s e. ~P B /\ t e. ~P B ) ) -> t e. ~P B )
120 eqid 2622 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( D ` I ) ` t ) = ( ( D ` I ) ` t )
12167, 12, 95, 96, 97, 119, 120dssmapfv3d 38313 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B e. _V /\ I e. ( ~P B ^m ~P B ) ) /\ ( s e. ~P B /\ t e. ~P B ) ) -> ( ( D ` I ) ` t ) = ( B \ ( I ` ( B \ t ) ) ) )
122109fveq1d 6193 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( D ` I ) ` t ) = ( K ` t ) )
123108, 122syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B e. _V /\ I e. ( ~P B ^m ~P B ) ) /\ ( s e. ~P B /\ t e. ~P B ) ) -> ( ( D ` I ) ` t ) = ( K ` t ) )
124121, 123eqtr3d 2658 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ B e. _V /\ I e. ( ~P B ^m ~P B ) ) /\ ( s e. ~P B /\ t e. ~P B ) ) -> ( B \ ( I ` ( B \ t ) ) ) = ( K ` t ) )
125118, 124uneq12d 3768 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ B e. _V /\ I e. ( ~P B ^m ~P B ) ) /\ ( s e. ~P B /\ t e. ~P B ) ) -> ( ( B \ ( I ` ( B \ s ) ) ) u. ( B \ ( I ` ( B \ t ) ) ) ) = ( ( K ` s ) u. ( K ` t ) ) )
126112, 125sseq12d 3634 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ B e. _V /\ I e. ( ~P B ^m ~P B ) ) /\ ( s e. ~P B /\ t e. ~P B ) ) -> ( ( B \ ( I ` ( B \ ( s u. t ) ) ) ) C_ ( ( B \ ( I ` ( B \ s ) ) ) u. ( B \ ( I ` ( B \ t ) ) ) ) <-> ( K ` ( s u. t ) ) C_ ( ( K ` s ) u. ( K ` t ) ) ) )
12766, 91, 92, 93, 94, 126syl32anc 1334 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B /\ a = ( B \ s ) ) /\ t e. ~P B /\ b = ( B \ t ) ) -> ( ( B \ ( I ` ( B \ ( s u. t ) ) ) ) C_ ( ( B \ ( I ` ( B \ s ) ) ) u. ( B \ ( I ` ( B \ t ) ) ) ) <-> ( K ` ( s u. t ) ) C_ ( ( K ` s ) u. ( K ` t ) ) ) )
12887, 90, 1273bitrd 294 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B /\ a = ( B \ s ) ) /\ t e. ~P B /\ b = ( B \ t ) ) -> ( ( ( I ` ( B \ s ) ) i^i ( I ` ( B \ t ) ) ) C_ ( I ` ( B \ ( s u. t ) ) ) <-> ( K ` ( s u. t ) ) C_ ( ( K ` s ) u. ( K ` t ) ) ) )
12957, 65, 1283bitrd 294 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ s e. ~P B /\ a = ( B \ s ) ) /\ t e. ~P B /\ b = ( B \ t ) ) -> ( ( ( I ` a ) i^i ( I ` b ) ) C_ ( I ` ( a i^i b ) ) <-> ( K ` ( s u. t ) ) C_ ( ( K ` s ) u. ( K ` t ) ) ) )
13035, 50, 129ralxfrd2 4884 . . 3 |- ( ( ph /\ s e. ~P B /\ a = ( B \ s ) ) -> ( A. b e. ~P B ( ( I ` a ) i^i ( I ` b ) ) C_ ( I ` ( a i^i b ) ) <-> A. t e. ~P B ( K ` ( s u. t ) ) C_ ( ( K ` s ) u. ( K ` t ) ) ) )
13117, 31, 130ralxfrd2 4884 . 2 |- ( ph -> ( A. a e. ~P B A. b e. ~P B ( ( I ` a ) i^i ( I ` b ) ) C_ ( I ` ( a i^i b ) ) <-> A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( K ` ( s u. t ) ) C_ ( ( K ` s ) u. ( K ` t ) ) ) )
13211, 131syl5bb 272 1 |- ( ph -> ( A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( ( I ` s ) i^i ( I ` t ) ) C_ ( I ` ( s i^i t ) ) <-> A. s e. ~P B A. t e. ~P B ( K ` ( s u. t ) ) C_ ( ( K ` s ) u. ( K ` t ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-frege1 38084
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859
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