Theorem ntrneiel2 38384

Description: Membership in iterated interior of a set is equivalent to there existing a particular neighborhood of that member such that points are members of that neighborhood if and only if the set is a neighborhood of each of those points. (Contributed by RP, 11-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrnei.o	|- O = ( i e. _V , j e. _V |-> ( k e. ( ~P j ^m i ) |-> ( l e. j |-> { m e. i | l e. ( k ` m ) } ) ) )
ntrnei.f	|- F = ( ~P B O B )
ntrnei.r	|- ( ph -> I F N )
ntrneiel2.x	|- ( ph -> X e. B )
ntrneiel2.s	|- ( ph -> S e. ~P B )

Assertion

Ref	Expression
ntrneiel2	|- ( ph -> ( X e. ( I ` ( I ` S ) ) <-> E. u e. ( N ` X ) A. y e. B ( y e. u <-> S e. ( N ` y ) ) ) )

Distinct variable groups:   B, i, j, k, l, m, y   u, B, y   k, I, l, m, y   u, N, y   S, m, y   u, S   X, l, m, y   u, X   ph, i, j, k, l, y   ph, u

Allowed substitution hints:   ph( m)   S( i, j, k, l)   F( y, u, i, j, k, m, l)   I( u, i, j)   N( i, j, k, m, l)   O( y, u, i, j, k, m, l)   X( i, j, k)

Proof of Theorem ntrneiel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ntrnei.o	. . 3 |- O = ( i e. _V , j e. _V |-> ( k e. ( ~P j ^m i ) |-> ( l e. j |-> { m e. i | l e. ( k ` m ) } ) ) )
2		ntrnei.f	. . 3 |- F = ( ~P B O B )
3		ntrnei.r	. . 3 |- ( ph -> I F N )
4		ntrneiel2.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
5	1, 2, 3	ntrneiiex 38374	. . . . 5 |- ( ph -> I e. ( ~P B ^m ~P B ) )
6		elmapi 7879	. . . . 5 |- ( I e. ( ~P B ^m ~P B ) -> I : ~P B --> ~P B )
7	5, 6	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> I : ~P B --> ~P B )
8		ntrneiel2.s	. . . 4 |- ( ph -> S e. ~P B )
9	7, 8	ffvelrnd 6360	. . 3 |- ( ph -> ( I ` S ) e. ~P B )
10	1, 2, 3, 4, 9	ntrneiel 38379	. 2 |- ( ph -> ( X e. ( I ` ( I ` S ) ) <-> ( I ` S ) e. ( N ` X ) ) )
11	1, 2, 3, 8	ntrneifv4 38383	. . . 4 |- ( ph -> ( I ` S ) = { y e. B | S e. ( N ` y ) } )
12		df-rab 2921	. . . 4 |- { y e. B | S e. ( N ` y ) } = { y | ( y e. B /\ S e. ( N ` y ) ) }
13	11, 12	syl6eq 2672	. . 3 |- ( ph -> ( I ` S ) = { y | ( y e. B /\ S e. ( N ` y ) ) } )
14	13	eleq1d 2686	. 2 |- ( ph -> ( ( I ` S ) e. ( N ` X ) <-> { y | ( y e. B /\ S e. ( N ` y ) ) } e. ( N ` X ) ) )
15		clabel 2749	. . . 4 |- ( { y | ( y e. B /\ S e. ( N ` y ) ) } e. ( N ` X ) <-> E. u ( u e. ( N ` X ) /\ A. y ( y e. u <-> ( y e. B /\ S e. ( N ` y ) ) ) ) )
16		df-rex 2918	. . . 4 |- ( E. u e. ( N ` X ) A. y ( y e. u <-> ( y e. B /\ S e. ( N ` y ) ) ) <-> E. u ( u e. ( N ` X ) /\ A. y ( y e. u <-> ( y e. B /\ S e. ( N ` y ) ) ) ) )
17	15, 16	bitr4i 267	. . 3 |- ( { y | ( y e. B /\ S e. ( N ` y ) ) } e. ( N ` X ) <-> E. u e. ( N ` X ) A. y ( y e. u <-> ( y e. B /\ S e. ( N ` y ) ) ) )
18		ibar 525	. . . . . . . 8 |- ( y e. B -> ( S e. ( N ` y ) <-> ( y e. B /\ S e. ( N ` y ) ) ) )
19	18	bibi2d 332	. . . . . . 7 |- ( y e. B -> ( ( y e. u <-> S e. ( N ` y ) ) <-> ( y e. u <-> ( y e. B /\ S e. ( N ` y ) ) ) ) )
20	19	ralbiia 2979	. . . . . 6 |- ( A. y e. B ( y e. u <-> S e. ( N ` y ) ) <-> A. y e. B ( y e. u <-> ( y e. B /\ S e. ( N ` y ) ) ) )
21		ssv 3625	. . . . . . . 8 |- B C_ _V
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. ( N ` X ) ) -> B C_ _V )
23		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
24		eldif 3584	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( _V \ B ) <-> ( y e. _V /\ -. y e. B ) )
25	23, 24	mpbiran 953	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( _V \ B ) <-> -. y e. B )
26	1, 2, 3	ntrneinex 38375	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> N e. ( ~P ~P B ^m B ) )
27		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. ( ~P ~P B ^m B ) -> N : B --> ~P ~P B )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> N : B --> ~P ~P B )
29	28, 4	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( N ` X ) e. ~P ~P B )
30	29	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( N ` X ) C_ ~P B )
31	30	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. ( N ` X ) ) -> u e. ~P B )
32	31	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. ( N ` X ) ) -> u C_ B )
33	32	sseld 3602	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. ( N ` X ) ) -> ( y e. u -> y e. B ) )
34	33	con3dimp 457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ u e. ( N ` X ) ) /\ -. y e. B ) -> -. y e. u )
35		pm3.14 523	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. y e. B \/ -. S e. ( N ` y ) ) -> -. ( y e. B /\ S e. ( N ` y ) ) )
36	35	orcs 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. y e. B -> -. ( y e. B /\ S e. ( N ` y ) ) )
37	36	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ u e. ( N ` X ) ) /\ -. y e. B ) -> -. ( y e. B /\ S e. ( N ` y ) ) )
38	34, 37	2falsed 366	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ u e. ( N ` X ) ) /\ -. y e. B ) -> ( y e. u <-> ( y e. B /\ S e. ( N ` y ) ) ) )
39	38	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. ( N ` X ) ) -> ( -. y e. B -> ( y e. u <-> ( y e. B /\ S e. ( N ` y ) ) ) ) )
40	25, 39	syl5bi 232	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. ( N ` X ) ) -> ( y e. ( _V \ B ) -> ( y e. u <-> ( y e. B /\ S e. ( N ` y ) ) ) ) )
41	40	ralrimiv 2965	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. ( N ` X ) ) -> A. y e. ( _V \ B ) ( y e. u <-> ( y e. B /\ S e. ( N ` y ) ) ) )
42	22, 41	raldifeq 4059	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. ( N ` X ) ) -> ( A. y e. B ( y e. u <-> ( y e. B /\ S e. ( N ` y ) ) ) <-> A. y e. _V ( y e. u <-> ( y e. B /\ S e. ( N ` y ) ) ) ) )
43	20, 42	syl5bb 272	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. ( N ` X ) ) -> ( A. y e. B ( y e. u <-> S e. ( N ` y ) ) <-> A. y e. _V ( y e. u <-> ( y e. B /\ S e. ( N ` y ) ) ) ) )
44		ralv 3219	. . . . 5 |- ( A. y e. _V ( y e. u <-> ( y e. B /\ S e. ( N ` y ) ) ) <-> A. y ( y e. u <-> ( y e. B /\ S e. ( N ` y ) ) ) )
45	43, 44	syl6rbb 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ u e. ( N ` X ) ) -> ( A. y ( y e. u <-> ( y e. B /\ S e. ( N ` y ) ) ) <-> A. y e. B ( y e. u <-> S e. ( N ` y ) ) ) )
46	45	rexbidva 3049	. . 3 |- ( ph -> ( E. u e. ( N ` X ) A. y ( y e. u <-> ( y e. B /\ S e. ( N ` y ) ) ) <-> E. u e. ( N ` X ) A. y e. B ( y e. u <-> S e. ( N ` y ) ) ) )
47	17, 46	syl5bb 272	. 2 |- ( ph -> ( { y | ( y e. B /\ S e. ( N ` y ) ) } e. ( N ` X ) <-> E. u e. ( N ` X ) A. y e. B ( y e. u <-> S e. ( N ` y ) ) ) )
48	10, 14, 47	3bitrd 294	1 |- ( ph -> ( X e. ( I ` ( I ` S ) ) <-> E. u e. ( N ` X ) A. y e. B ( y e. u <-> S e. ( N ` y ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859

This theorem is referenced by:  ntrneik4  38399