Theorem o1co 14317

Description: Sufficient condition for transforming the index set of an eventually bounded function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
o1co.1	|- ( ph -> F : A --> CC )
o1co.2	|- ( ph -> F e. O(1) )
o1co.3	|- ( ph -> G : B --> A )
o1co.4	|- ( ph -> B C_ RR )
o1co.5	|- ( ( ph /\ m e. RR ) -> E. x e. RR A. y e. B ( x <_ y -> m <_ ( G ` y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
o1co	|- ( ph -> ( F o. G ) e. O(1) )

Distinct variable groups:   x, m, y, A   m, F, x, y   m, G, x, y   ph, m, x, y   B, m, x, y

Proof of Theorem o1co

Dummy variables n z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		o1co.2	. . . 4 |- ( ph -> F e. O(1) )
2		o1co.1	. . . . 5 |- ( ph -> F : A --> CC )
3		fdm 6051	. . . . . . 7 |- ( F : A --> CC -> dom F = A )
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> dom F = A )
5		o1dm 14261	. . . . . . 7 |- ( F e. O(1) -> dom F C_ RR )
6	1, 5	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> dom F C_ RR )
7	4, 6	eqsstr3d 3640	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ RR )
8		elo12 14258	. . . . 5 |- ( ( F : A --> CC /\ A C_ RR ) -> ( F e. O(1) <-> E. m e. RR E. n e. RR A. z e. A ( m <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ n ) ) )
9	2, 7, 8	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( F e. O(1) <-> E. m e. RR E. n e. RR A. z e. A ( m <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ n ) ) )
10	1, 9	mpbid 222	. . 3 |- ( ph -> E. m e. RR E. n e. RR A. z e. A ( m <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ n ) )
11		o1co.5	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. RR ) -> E. x e. RR A. y e. B ( x <_ y -> m <_ ( G ` y ) ) )
12		reeanv 3107	. . . . . 6 |- ( E. x e. RR E. n e. RR ( A. y e. B ( x <_ y -> m <_ ( G ` y ) ) /\ A. z e. A ( m <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ n ) ) <-> ( E. x e. RR A. y e. B ( x <_ y -> m <_ ( G ` y ) ) /\ E. n e. RR A. z e. A ( m <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ n ) ) )
13		o1co.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> G : B --> A )
14	13	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. RR ) /\ x e. RR ) /\ n e. RR ) -> G : B --> A )
15	14	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. RR ) /\ x e. RR ) /\ n e. RR ) /\ y e. B ) -> ( G ` y ) e. A )
16		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( G ` y ) -> ( m <_ z <-> m <_ ( G ` y ) ) )
17		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = ( G ` y ) -> ( F ` z ) = ( F ` ( G ` y ) ) )
18	17	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( G ` y ) -> ( abs ` ( F ` z ) ) = ( abs ` ( F ` ( G ` y ) ) ) )
19	18	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( G ` y ) -> ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ n <-> ( abs ` ( F ` ( G ` y ) ) ) <_ n ) )
20	16, 19	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( G ` y ) -> ( ( m <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ n ) <-> ( m <_ ( G ` y ) -> ( abs ` ( F ` ( G ` y ) ) ) <_ n ) ) )
21	20	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( G ` y ) e. A /\ A. z e. A ( m <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ n ) ) -> ( m <_ ( G ` y ) -> ( abs ` ( F ` ( G ` y ) ) ) <_ n ) )
22	15, 21	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ m e. RR ) /\ x e. RR ) /\ n e. RR ) /\ y e. B ) /\ A. z e. A ( m <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ n ) ) -> ( m <_ ( G ` y ) -> ( abs ` ( F ` ( G ` y ) ) ) <_ n ) )
23	22	an32s 846	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ m e. RR ) /\ x e. RR ) /\ n e. RR ) /\ A. z e. A ( m <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ n ) ) /\ y e. B ) -> ( m <_ ( G ` y ) -> ( abs ` ( F ` ( G ` y ) ) ) <_ n ) )
24	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. RR ) /\ x e. RR ) /\ n e. RR ) /\ A. z e. A ( m <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ n ) ) -> G : B --> A )
25		fvco3 6275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G : B --> A /\ y e. B ) -> ( ( F o. G ) ` y ) = ( F ` ( G ` y ) ) )
26	24, 25	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ m e. RR ) /\ x e. RR ) /\ n e. RR ) /\ A. z e. A ( m <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ n ) ) /\ y e. B ) -> ( ( F o. G ) ` y ) = ( F ` ( G ` y ) ) )
27	26	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ m e. RR ) /\ x e. RR ) /\ n e. RR ) /\ A. z e. A ( m <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ n ) ) /\ y e. B ) -> ( abs ` ( ( F o. G ) ` y ) ) = ( abs ` ( F ` ( G ` y ) ) ) )
28	27	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ m e. RR ) /\ x e. RR ) /\ n e. RR ) /\ A. z e. A ( m <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ n ) ) /\ y e. B ) -> ( ( abs ` ( ( F o. G ) ` y ) ) <_ n <-> ( abs ` ( F ` ( G ` y ) ) ) <_ n ) )
29	23, 28	sylibrd 249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ m e. RR ) /\ x e. RR ) /\ n e. RR ) /\ A. z e. A ( m <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ n ) ) /\ y e. B ) -> ( m <_ ( G ` y ) -> ( abs ` ( ( F o. G ) ` y ) ) <_ n ) )
30	29	imim2d 57	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ m e. RR ) /\ x e. RR ) /\ n e. RR ) /\ A. z e. A ( m <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ n ) ) /\ y e. B ) -> ( ( x <_ y -> m <_ ( G ` y ) ) -> ( x <_ y -> ( abs ` ( ( F o. G ) ` y ) ) <_ n ) ) )
31	30	ralimdva 2962	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. RR ) /\ x e. RR ) /\ n e. RR ) /\ A. z e. A ( m <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ n ) ) -> ( A. y e. B ( x <_ y -> m <_ ( G ` y ) ) -> A. y e. B ( x <_ y -> ( abs ` ( ( F o. G ) ` y ) ) <_ n ) ) )
32	31	expimpd 629	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. RR ) /\ x e. RR ) /\ n e. RR ) -> ( ( A. z e. A ( m <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ n ) /\ A. y e. B ( x <_ y -> m <_ ( G ` y ) ) ) -> A. y e. B ( x <_ y -> ( abs ` ( ( F o. G ) ` y ) ) <_ n ) ) )
33	32	ancomsd 470	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. RR ) /\ x e. RR ) /\ n e. RR ) -> ( ( A. y e. B ( x <_ y -> m <_ ( G ` y ) ) /\ A. z e. A ( m <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ n ) ) -> A. y e. B ( x <_ y -> ( abs ` ( ( F o. G ) ` y ) ) <_ n ) ) )
34	33	reximdva 3017	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( E. n e. RR ( A. y e. B ( x <_ y -> m <_ ( G ` y ) ) /\ A. z e. A ( m <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ n ) ) -> E. n e. RR A. y e. B ( x <_ y -> ( abs ` ( ( F o. G ) ` y ) ) <_ n ) ) )
35	34	reximdva 3017	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. RR ) -> ( E. x e. RR E. n e. RR ( A. y e. B ( x <_ y -> m <_ ( G ` y ) ) /\ A. z e. A ( m <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ n ) ) -> E. x e. RR E. n e. RR A. y e. B ( x <_ y -> ( abs ` ( ( F o. G ) ` y ) ) <_ n ) ) )
36	12, 35	syl5bir 233	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. RR ) -> ( ( E. x e. RR A. y e. B ( x <_ y -> m <_ ( G ` y ) ) /\ E. n e. RR A. z e. A ( m <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ n ) ) -> E. x e. RR E. n e. RR A. y e. B ( x <_ y -> ( abs ` ( ( F o. G ) ` y ) ) <_ n ) ) )
37	11, 36	mpand 711	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. RR ) -> ( E. n e. RR A. z e. A ( m <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ n ) -> E. x e. RR E. n e. RR A. y e. B ( x <_ y -> ( abs ` ( ( F o. G ) ` y ) ) <_ n ) ) )
38	37	rexlimdva 3031	. . 3 |- ( ph -> ( E. m e. RR E. n e. RR A. z e. A ( m <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ n ) -> E. x e. RR E. n e. RR A. y e. B ( x <_ y -> ( abs ` ( ( F o. G ) ` y ) ) <_ n ) ) )
39	10, 38	mpd 15	. 2 |- ( ph -> E. x e. RR E. n e. RR A. y e. B ( x <_ y -> ( abs ` ( ( F o. G ) ` y ) ) <_ n ) )
40		fco 6058	. . . 4 |- ( ( F : A --> CC /\ G : B --> A ) -> ( F o. G ) : B --> CC )
41	2, 13, 40	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( F o. G ) : B --> CC )
42		o1co.4	. . 3 |- ( ph -> B C_ RR )
43		elo12 14258	. . 3 |- ( ( ( F o. G ) : B --> CC /\ B C_ RR ) -> ( ( F o. G ) e. O(1) <-> E. x e. RR E. n e. RR A. y e. B ( x <_ y -> ( abs ` ( ( F o. G ) ` y ) ) <_ n ) ) )
44	41, 42, 43	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( ( F o. G ) e. O(1) <-> E. x e. RR E. n e. RR A. y e. B ( x <_ y -> ( abs ` ( ( F o. G ) ` y ) ) <_ n ) ) )
45	39, 44	mpbird 247	1 |- ( ph -> ( F o. G ) e. O(1) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888   CCcc 9934   RRcr 9935   <_ cle 10075   abscabs 13974   O(1)co1 14217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-ico 12181  df-o1 14221

This theorem is referenced by:  o1compt  14318