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Theorem o1of2 14343
Description: Show that a binary operation preserves eventual boundedness. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
o1of2.1 |- ( ( m e. RR /\ n e. RR ) -> M e. RR )
o1of2.2 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x R y ) e. CC )
o1of2.3 |- ( ( ( m e. RR /\ n e. RR ) /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` x ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) -> ( abs ` ( x R y ) ) <_ M ) )
Assertion
Ref Expression
o1of2 |- ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) -> ( F oF R G ) e. O(1) )
Distinct variable groups:   m, n, x, y, F   m, G, n, x, y   R, m, n, x, y   x, M, y
Allowed substitution hints:   M( m, n)
Proof of Theorem o1of2
Dummy variables a b z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1f 14260 . . . 4 |- ( F e. O(1) -> F : dom F --> CC )
2 o1bdd 14262 . . . 4 |- ( ( F e. O(1) /\ F : dom F --> CC ) -> E. a e. RR E. m e. RR A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) )
31, 2mpdan 702 . . 3 |- ( F e. O(1) -> E. a e. RR E. m e. RR A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) )
43adantr 481 . 2 |- ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) -> E. a e. RR E. m e. RR A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) )
5 o1f 14260 . . . 4 |- ( G e. O(1) -> G : dom G --> CC )
6 o1bdd 14262 . . . 4 |- ( ( G e. O(1) /\ G : dom G --> CC ) -> E. b e. RR E. n e. RR A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) )
75, 6mpdan 702 . . 3 |- ( G e. O(1) -> E. b e. RR E. n e. RR A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) )
87adantl 482 . 2 |- ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) -> E. b e. RR E. n e. RR A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) )
9 reeanv 3107 . . 3 |- ( E. a e. RR E. b e. RR ( E. m e. RR A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ E. n e. RR A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) <-> ( E. a e. RR E. m e. RR A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ E. b e. RR E. n e. RR A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) )
10 reeanv 3107 . . . . 5 |- ( E. m e. RR E. n e. RR ( A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) <-> ( E. m e. RR A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ E. n e. RR A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) )
11 inss1 3833 . . . . . . . . . 10 |- ( dom F i^i dom G ) C_ dom F
12 ssralv 3666 . . . . . . . . . 10 |- ( ( dom F i^i dom G ) C_ dom F -> ( A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) -> A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) ) )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . 9 |- ( A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) -> A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) )
14 inss2 3834 . . . . . . . . . 10 |- ( dom F i^i dom G ) C_ dom G
15 ssralv 3666 . . . . . . . . . 10 |- ( ( dom F i^i dom G ) C_ dom G -> ( A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) -> A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) )
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . 9 |- ( A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) -> A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) )
1713, 16anim12i 590 . . . . . . . 8 |- ( ( A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) )
18 r19.26 3064 . . . . . . . 8 |- ( A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) <-> ( A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) )
1917, 18sylibr 224 . . . . . . 7 |- ( ( A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) )
20 prth 595 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( ( a <_ z /\ b <_ z ) -> ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) )
21 simplrl 800 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> a e. RR )
2221adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> a e. RR )
23 simplrr 801 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> b e. RR )
2423adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> b e. RR )
25 o1dm 14261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F e. O(1) -> dom F C_ RR )
2625ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> dom F C_ RR )
2711, 26syl5ss 3614 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> ( dom F i^i dom G ) C_ RR )
2827sselda 3603 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> z e. RR )
29 maxle 12022 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ z e. RR ) -> ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z <-> ( a <_ z /\ b <_ z ) ) )
3022, 24, 28, 29syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z <-> ( a <_ z /\ b <_ z ) ) )
3130biimpd 219 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( a <_ z /\ b <_ z ) ) )
321ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> F : dom F --> CC )
3311sseli 3599 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( dom F i^i dom G ) -> z e. dom F )
34 ffvelrn 6357 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : dom F --> CC /\ z e. dom F ) -> ( F ` z ) e. CC )
3532, 33, 34syl2an 494 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( F ` z ) e. CC )
365ad3antlr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> G : dom G --> CC )
3714sseli 3599 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( dom F i^i dom G ) -> z e. dom G )
38 ffvelrn 6357 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G : dom G --> CC /\ z e. dom G ) -> ( G ` z ) e. CC )
3936, 37, 38syl2an 494 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( G ` z ) e. CC )
40 o1of2.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m e. RR /\ n e. RR ) /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` x ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) -> ( abs ` ( x R y ) ) <_ M ) )
4140ralrimivva 2971 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m e. RR /\ n e. RR ) -> A. x e. CC A. y e. CC ( ( ( abs ` x ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) -> ( abs ` ( x R y ) ) <_ M ) )
4241ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> A. x e. CC A. y e. CC ( ( ( abs ` x ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) -> ( abs ` ( x R y ) ) <_ M ) )
43 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ( F ` z ) -> ( abs ` x ) = ( abs ` ( F ` z ) ) )
4443breq1d 4663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( F ` z ) -> ( ( abs ` x ) <_ m <-> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) )
4544anbi1d 741 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( F ` z ) -> ( ( ( abs ` x ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) <-> ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) ) )
46 oveq1 6657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ( F ` z ) -> ( x R y ) = ( ( F ` z ) R y ) )
4746fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( F ` z ) -> ( abs ` ( x R y ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) R y ) ) )
4847breq1d 4663 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( F ` z ) -> ( ( abs ` ( x R y ) ) <_ M <-> ( abs ` ( ( F ` z ) R y ) ) <_ M ) )
4945, 48imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( F ` z ) -> ( ( ( ( abs ` x ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) -> ( abs ` ( x R y ) ) <_ M ) <-> ( ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) R y ) ) <_ M ) ) )
50 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( G ` z ) -> ( abs ` y ) = ( abs ` ( G ` z ) ) )
5150breq1d 4663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( G ` z ) -> ( ( abs ` y ) <_ n <-> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) )
5251anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( G ` z ) -> ( ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) <-> ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) )
53 oveq2 6658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( G ` z ) -> ( ( F ` z ) R y ) = ( ( F ` z ) R ( G ` z ) ) )
5453fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( G ` z ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) R y ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) R ( G ` z ) ) ) )
5554breq1d 4663 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( G ` z ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) R y ) ) <_ M <-> ( abs ` ( ( F ` z ) R ( G ` z ) ) ) <_ M ) )
5652, 55imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( G ` z ) -> ( ( ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) R y ) ) <_ M ) <-> ( ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) R ( G ` z ) ) ) <_ M ) ) )
5749, 56rspc2va 3323 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F ` z ) e. CC /\ ( G ` z ) e. CC ) /\ A. x e. CC A. y e. CC ( ( ( abs ` x ) <_ m /\ ( abs ` y ) <_ n ) -> ( abs ` ( x R y ) ) <_ M ) ) -> ( ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) R ( G ` z ) ) ) <_ M ) )
5835, 39, 42, 57syl21anc 1325 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) R ( G ` z ) ) ) <_ M ) )
59 ffn 6045 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F : dom F --> CC -> F Fn dom F )
6032, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> F Fn dom F )
61 ffn 6045 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G : dom G --> CC -> G Fn dom G )
6236, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> G Fn dom G )
63 reex 10027 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- RR e. _V
64 ssexg 4804 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( dom F C_ RR /\ RR e. _V ) -> dom F e. _V )
6526, 63, 64sylancl 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> dom F e. _V )
66 dmexg 7097 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G e. O(1) -> dom G e. _V )
6766ad3antlr 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> dom G e. _V )
68 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( dom F i^i dom G ) = ( dom F i^i dom G )
69 eqidd 2623 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. dom F ) -> ( F ` z ) = ( F ` z ) )
70 eqidd 2623 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. dom G ) -> ( G ` z ) = ( G ` z ) )
7160, 62, 65, 67, 68, 69, 70ofval 6906 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( F oF R G ) ` z ) = ( ( F ` z ) R ( G ` z ) ) )
7271fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( abs ` ( ( F oF R G ) ` z ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) R ( G ` z ) ) ) )
7372breq1d 4663 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( abs ` ( ( F oF R G ) ` z ) ) <_ M <-> ( abs ` ( ( F ` z ) R ( G ` z ) ) ) <_ M ) )
7458, 73sylibrd 249 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) -> ( abs ` ( ( F oF R G ) ` z ) ) <_ M ) )
7531, 74imim12d 81 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( ( a <_ z /\ b <_ z ) -> ( ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m /\ ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( abs ` ( ( F oF R G ) ` z ) ) <_ M ) ) )
7620, 75syl5 34 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ z e. ( dom F i^i dom G ) ) -> ( ( ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( abs ` ( ( F oF R G ) ` z ) ) <_ M ) ) )
7776ralimdva 2962 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> ( A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( abs ` ( ( F oF R G ) ` z ) ) <_ M ) ) )
78 o1of2.2 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x R y ) e. CC )
7978adantl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x R y ) e. CC )
8079, 32, 36, 65, 67, 68off 6912 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> ( F oF R G ) : ( dom F i^i dom G ) --> CC )
8123, 21ifcld 4131 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> if ( a <_ b , b , a ) e. RR )
82 o1of2.1 . . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. RR /\ n e. RR ) -> M e. RR )
8382adantl 482 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> M e. RR )
84 elo12r 14259 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F oF R G ) : ( dom F i^i dom G ) --> CC /\ ( dom F i^i dom G ) C_ RR ) /\ ( if ( a <_ b , b , a ) e. RR /\ M e. RR ) /\ A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( abs ` ( ( F oF R G ) ` z ) ) <_ M ) ) -> ( F oF R G ) e. O(1) )
85843expia 1267 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F oF R G ) : ( dom F i^i dom G ) --> CC /\ ( dom F i^i dom G ) C_ RR ) /\ ( if ( a <_ b , b , a ) e. RR /\ M e. RR ) ) -> ( A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( abs ` ( ( F oF R G ) ` z ) ) <_ M ) -> ( F oF R G ) e. O(1) ) )
8680, 27, 81, 83, 85syl22anc 1327 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> ( A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( if ( a <_ b , b , a ) <_ z -> ( abs ` ( ( F oF R G ) ` z ) ) <_ M ) -> ( F oF R G ) e. O(1) ) )
8777, 86syld 47 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> ( A. z e. ( dom F i^i dom G ) ( ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( F oF R G ) e. O(1) ) )
8819, 87syl5 34 . . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) /\ ( m e. RR /\ n e. RR ) ) -> ( ( A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( F oF R G ) e. O(1) ) )
8988rexlimdvva 3038 . . . . 5 |- ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) -> ( E. m e. RR E. n e. RR ( A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( F oF R G ) e. O(1) ) )
9010, 89syl5bir 233 . . . 4 |- ( ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) /\ ( a e. RR /\ b e. RR ) ) -> ( ( E. m e. RR A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ E. n e. RR A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( F oF R G ) e. O(1) ) )
9190rexlimdvva 3038 . . 3 |- ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) -> ( E. a e. RR E. b e. RR ( E. m e. RR A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ E. n e. RR A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( F oF R G ) e. O(1) ) )
929, 91syl5bir 233 . 2 |- ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) -> ( ( E. a e. RR E. m e. RR A. z e. dom F ( a <_ z -> ( abs ` ( F ` z ) ) <_ m ) /\ E. b e. RR E. n e. RR A. z e. dom G ( b <_ z -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ n ) ) -> ( F oF R G ) e. O(1) ) )
934, 8, 92mp2and 715 1 |- ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) -> ( F oF R G ) e. O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   CCcc 9934   RRcr 9935   <_ cle 10075   abscabs 13974   O(1)co1 14217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-ico 12181  df-o1 14221
This theorem is referenced by:  o1add  14344  o1mul  14345  o1sub  14346
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