Theorem o1dm 14261

Description: An eventually bounded function's domain is a subset of the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
o1dm	|- ( F e. O(1) -> dom F C_ RR )

Proof of Theorem o1dm

Dummy variables x m y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elo1 14257	. . 3 |- ( F e. O(1) <-> ( F e. ( CC ^pm RR ) /\ E. x e. RR E. m e. RR A. y e. ( dom F i^i ( x [,) +oo ) ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ m ) )
2	1	simplbi 476	. 2 |- ( F e. O(1) -> F e. ( CC ^pm RR ) )
3		cnex 10017	. . . 4 |- CC e. _V
4		reex 10027	. . . 4 |- RR e. _V
5	3, 4	elpm2 7889	. . 3 |- ( F e. ( CC ^pm RR ) <-> ( F : dom F --> CC /\ dom F C_ RR ) )
6	5	simprbi 480	. 2 |- ( F e. ( CC ^pm RR ) -> dom F C_ RR )
7	2, 6	syl 17	1 |- ( F e. O(1) -> dom F C_ RR )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^pm cpm 7858   CCcc 9934   RRcr 9935   +oocpnf 10071   <_ cle 10075   [,)cico 12177   abscabs 13974   O(1)co1 14217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-pm 7860  df-o1 14221

This theorem is referenced by:  o1bdd  14262  lo1o1  14263  o1lo1  14268  o1lo12  14269  o1co  14317  o1of2  14343  o1rlimmul  14349  o1add2  14354  o1mul2  14355  o1sub2  14356  o1dif  14360  o1cxp  24701