Theorem o1add 14344

Description: The sum of two eventually bounded functions is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.) (Proof shortened by Fan Zheng, 14-Jul-2016.)

Assertion

Ref	Expression
o1add	|- ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) -> ( F oF + G ) e. O(1) )

Proof of Theorem o1add

Dummy variables x y m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		readdcl 10019	. 2 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x + y ) e. RR )
2		addcl 10018	. 2 |- ( ( m e. CC /\ n e. CC ) -> ( m + n ) e. CC )
3		simp2l 1087	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( m e. CC /\ n e. CC ) /\ ( ( abs ` m ) <_ x /\ ( abs ` n ) <_ y ) ) -> m e. CC )
4		simp2r 1088	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( m e. CC /\ n e. CC ) /\ ( ( abs ` m ) <_ x /\ ( abs ` n ) <_ y ) ) -> n e. CC )
5	3, 4	addcld 10059	. . . . 5 |- ( ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( m e. CC /\ n e. CC ) /\ ( ( abs ` m ) <_ x /\ ( abs ` n ) <_ y ) ) -> ( m + n ) e. CC )
6	5	abscld 14175	. . . 4 |- ( ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( m e. CC /\ n e. CC ) /\ ( ( abs ` m ) <_ x /\ ( abs ` n ) <_ y ) ) -> ( abs ` ( m + n ) ) e. RR )
7	3	abscld 14175	. . . . 5 |- ( ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( m e. CC /\ n e. CC ) /\ ( ( abs ` m ) <_ x /\ ( abs ` n ) <_ y ) ) -> ( abs ` m ) e. RR )
8	4	abscld 14175	. . . . 5 |- ( ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( m e. CC /\ n e. CC ) /\ ( ( abs ` m ) <_ x /\ ( abs ` n ) <_ y ) ) -> ( abs ` n ) e. RR )
9	7, 8	readdcld 10069	. . . 4 |- ( ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( m e. CC /\ n e. CC ) /\ ( ( abs ` m ) <_ x /\ ( abs ` n ) <_ y ) ) -> ( ( abs ` m ) + ( abs ` n ) ) e. RR )
10		simp1l 1085	. . . . 5 |- ( ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( m e. CC /\ n e. CC ) /\ ( ( abs ` m ) <_ x /\ ( abs ` n ) <_ y ) ) -> x e. RR )
11		simp1r 1086	. . . . 5 |- ( ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( m e. CC /\ n e. CC ) /\ ( ( abs ` m ) <_ x /\ ( abs ` n ) <_ y ) ) -> y e. RR )
12	10, 11	readdcld 10069	. . . 4 |- ( ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( m e. CC /\ n e. CC ) /\ ( ( abs ` m ) <_ x /\ ( abs ` n ) <_ y ) ) -> ( x + y ) e. RR )
13	3, 4	abstrid 14195	. . . 4 |- ( ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( m e. CC /\ n e. CC ) /\ ( ( abs ` m ) <_ x /\ ( abs ` n ) <_ y ) ) -> ( abs ` ( m + n ) ) <_ ( ( abs ` m ) + ( abs ` n ) ) )
14		simp3l 1089	. . . . 5 |- ( ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( m e. CC /\ n e. CC ) /\ ( ( abs ` m ) <_ x /\ ( abs ` n ) <_ y ) ) -> ( abs ` m ) <_ x )
15		simp3r 1090	. . . . 5 |- ( ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( m e. CC /\ n e. CC ) /\ ( ( abs ` m ) <_ x /\ ( abs ` n ) <_ y ) ) -> ( abs ` n ) <_ y )
16	7, 8, 10, 11, 14, 15	le2addd 10646	. . . 4 |- ( ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( m e. CC /\ n e. CC ) /\ ( ( abs ` m ) <_ x /\ ( abs ` n ) <_ y ) ) -> ( ( abs ` m ) + ( abs ` n ) ) <_ ( x + y ) )
17	6, 9, 12, 13, 16	letrd 10194	. . 3 |- ( ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( m e. CC /\ n e. CC ) /\ ( ( abs ` m ) <_ x /\ ( abs ` n ) <_ y ) ) -> ( abs ` ( m + n ) ) <_ ( x + y ) )
18	17	3expia 1267	. 2 |- ( ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ ( m e. CC /\ n e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` m ) <_ x /\ ( abs ` n ) <_ y ) -> ( abs ` ( m + n ) ) <_ ( x + y ) ) )
19	1, 2, 18	o1of2 14343	1 |- ( ( F e. O(1) /\ G e. O(1) ) -> ( F oF + G ) e. O(1) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   CCcc 9934   RRcr 9935   + caddc 9939   <_ cle 10075   abscabs 13974   O(1)co1 14217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-o1 14221

This theorem is referenced by:  o1add2  14354  o1dif  14360  fsumo1  14544  mudivsum  25219  selberglem2  25235  pntrsumo1  25254