Theorem ofco2 20257

Description: Distribution law for the function operation and the composition of functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ofco2	|- ( ( ( F e. _V /\ G e. _V ) /\ ( Fun H /\ ( F o. H ) e. _V /\ ( G o. H ) e. _V ) ) -> ( ( F oF R G ) o. H ) = ( ( F o. H ) oF R ( G o. H ) ) )

Proof of Theorem ofco2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 1067	. . . 4 |- ( ( ( F e. _V /\ G e. _V ) /\ ( Fun H /\ ( F o. H ) e. _V /\ ( G o. H ) e. _V ) ) -> Fun H )
2		fvimacnvi 6331	. . . 4 |- ( ( Fun H /\ x e. ( `' H " ( dom F i^i dom G ) ) ) -> ( H ` x ) e. ( dom F i^i dom G ) )
3	1, 2	sylan 488	. . 3 |- ( ( ( ( F e. _V /\ G e. _V ) /\ ( Fun H /\ ( F o. H ) e. _V /\ ( G o. H ) e. _V ) ) /\ x e. ( `' H " ( dom F i^i dom G ) ) ) -> ( H ` x ) e. ( dom F i^i dom G ) )
4		funfn 5918	. . . . . . 7 |- ( Fun H <-> H Fn dom H )
5	1, 4	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. _V /\ G e. _V ) /\ ( Fun H /\ ( F o. H ) e. _V /\ ( G o. H ) e. _V ) ) -> H Fn dom H )
6		dffn5 6241	. . . . . 6 |- ( H Fn dom H <-> H = ( x e. dom H |-> ( H ` x ) ) )
7	5, 6	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( ( F e. _V /\ G e. _V ) /\ ( Fun H /\ ( F o. H ) e. _V /\ ( G o. H ) e. _V ) ) -> H = ( x e. dom H |-> ( H ` x ) ) )
8	7	reseq1d 5395	. . . 4 |- ( ( ( F e. _V /\ G e. _V ) /\ ( Fun H /\ ( F o. H ) e. _V /\ ( G o. H ) e. _V ) ) -> ( H |` ( `' H " ( dom F i^i dom G ) ) ) = ( ( x e. dom H |-> ( H ` x ) ) |` ( `' H " ( dom F i^i dom G ) ) ) )
9		cnvimass 5485	. . . . 5 |- ( `' H " ( dom F i^i dom G ) ) C_ dom H
10		resmpt 5449	. . . . 5 |- ( ( `' H " ( dom F i^i dom G ) ) C_ dom H -> ( ( x e. dom H |-> ( H ` x ) ) |` ( `' H " ( dom F i^i dom G ) ) ) = ( x e. ( `' H " ( dom F i^i dom G ) ) |-> ( H ` x ) ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( x e. dom H |-> ( H ` x ) ) |` ( `' H " ( dom F i^i dom G ) ) ) = ( x e. ( `' H " ( dom F i^i dom G ) ) |-> ( H ` x ) )
12	8, 11	syl6eq 2672	. . 3 |- ( ( ( F e. _V /\ G e. _V ) /\ ( Fun H /\ ( F o. H ) e. _V /\ ( G o. H ) e. _V ) ) -> ( H |` ( `' H " ( dom F i^i dom G ) ) ) = ( x e. ( `' H " ( dom F i^i dom G ) ) |-> ( H ` x ) ) )
13		offval3 7162	. . . 4 |- ( ( F e. _V /\ G e. _V ) -> ( F oF R G ) = ( y e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` y ) R ( G ` y ) ) ) )
14	13	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( F e. _V /\ G e. _V ) /\ ( Fun H /\ ( F o. H ) e. _V /\ ( G o. H ) e. _V ) ) -> ( F oF R G ) = ( y e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` y ) R ( G ` y ) ) ) )
15		fveq2 6191	. . . 4 |- ( y = ( H ` x ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( H ` x ) ) )
16		fveq2 6191	. . . 4 |- ( y = ( H ` x ) -> ( G ` y ) = ( G ` ( H ` x ) ) )
17	15, 16	oveq12d 6668	. . 3 |- ( y = ( H ` x ) -> ( ( F ` y ) R ( G ` y ) ) = ( ( F ` ( H ` x ) ) R ( G ` ( H ` x ) ) ) )
18	3, 12, 14, 17	fmptco 6396	. 2 |- ( ( ( F e. _V /\ G e. _V ) /\ ( Fun H /\ ( F o. H ) e. _V /\ ( G o. H ) e. _V ) ) -> ( ( F oF R G ) o. ( H |` ( `' H " ( dom F i^i dom G ) ) ) ) = ( x e. ( `' H " ( dom F i^i dom G ) ) |-> ( ( F ` ( H ` x ) ) R ( G ` ( H ` x ) ) ) ) )
19		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) R ( G ` x ) ) e. _V
20	19	rgenw 2924	. . . . . . 7 |- A. x e. ( dom F i^i dom G ) ( ( F ` x ) R ( G ` x ) ) e. _V
21		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` x ) R ( G ` x ) ) ) = ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` x ) R ( G ` x ) ) )
22	21	fnmpt 6020	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ( dom F i^i dom G ) ( ( F ` x ) R ( G ` x ) ) e. _V -> ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` x ) R ( G ` x ) ) ) Fn ( dom F i^i dom G ) )
23	20, 22	mp1i 13	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. _V /\ G e. _V ) /\ ( Fun H /\ ( F o. H ) e. _V /\ ( G o. H ) e. _V ) ) -> ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` x ) R ( G ` x ) ) ) Fn ( dom F i^i dom G ) )
24		offval3 7162	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. _V /\ G e. _V ) -> ( F oF R G ) = ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` x ) R ( G ` x ) ) ) )
25	24	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. _V /\ G e. _V ) /\ ( Fun H /\ ( F o. H ) e. _V /\ ( G o. H ) e. _V ) ) -> ( F oF R G ) = ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` x ) R ( G ` x ) ) ) )
26	25	fneq1d 5981	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. _V /\ G e. _V ) /\ ( Fun H /\ ( F o. H ) e. _V /\ ( G o. H ) e. _V ) ) -> ( ( F oF R G ) Fn ( dom F i^i dom G ) <-> ( x e. ( dom F i^i dom G ) |-> ( ( F ` x ) R ( G ` x ) ) ) Fn ( dom F i^i dom G ) ) )
27	23, 26	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ( F e. _V /\ G e. _V ) /\ ( Fun H /\ ( F o. H ) e. _V /\ ( G o. H ) e. _V ) ) -> ( F oF R G ) Fn ( dom F i^i dom G ) )
28		fndm 5990	. . . . 5 |- ( ( F oF R G ) Fn ( dom F i^i dom G ) -> dom ( F oF R G ) = ( dom F i^i dom G ) )
29	27, 28	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( F e. _V /\ G e. _V ) /\ ( Fun H /\ ( F o. H ) e. _V /\ ( G o. H ) e. _V ) ) -> dom ( F oF R G ) = ( dom F i^i dom G ) )
30		eqimss 3657	. . . 4 |- ( dom ( F oF R G ) = ( dom F i^i dom G ) -> dom ( F oF R G ) C_ ( dom F i^i dom G ) )
31		cores2 5648	. . . 4 |- ( dom ( F oF R G ) C_ ( dom F i^i dom G ) -> ( ( F oF R G ) o. `' ( `' H |` ( dom F i^i dom G ) ) ) = ( ( F oF R G ) o. H ) )
32	29, 30, 31	3syl 18	. . 3 |- ( ( ( F e. _V /\ G e. _V ) /\ ( Fun H /\ ( F o. H ) e. _V /\ ( G o. H ) e. _V ) ) -> ( ( F oF R G ) o. `' ( `' H |` ( dom F i^i dom G ) ) ) = ( ( F oF R G ) o. H ) )
33		funcnvres2 5969	. . . . 5 |- ( Fun H -> `' ( `' H |` ( dom F i^i dom G ) ) = ( H |` ( `' H " ( dom F i^i dom G ) ) ) )
34	1, 33	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( F e. _V /\ G e. _V ) /\ ( Fun H /\ ( F o. H ) e. _V /\ ( G o. H ) e. _V ) ) -> `' ( `' H |` ( dom F i^i dom G ) ) = ( H |` ( `' H " ( dom F i^i dom G ) ) ) )
35	34	coeq2d 5284	. . 3 |- ( ( ( F e. _V /\ G e. _V ) /\ ( Fun H /\ ( F o. H ) e. _V /\ ( G o. H ) e. _V ) ) -> ( ( F oF R G ) o. `' ( `' H |` ( dom F i^i dom G ) ) ) = ( ( F oF R G ) o. ( H |` ( `' H " ( dom F i^i dom G ) ) ) ) )
36	32, 35	eqtr3d 2658	. 2 |- ( ( ( F e. _V /\ G e. _V ) /\ ( Fun H /\ ( F o. H ) e. _V /\ ( G o. H ) e. _V ) ) -> ( ( F oF R G ) o. H ) = ( ( F oF R G ) o. ( H |` ( `' H " ( dom F i^i dom G ) ) ) ) )
37		simpr2 1068	. . . 4 |- ( ( ( F e. _V /\ G e. _V ) /\ ( Fun H /\ ( F o. H ) e. _V /\ ( G o. H ) e. _V ) ) -> ( F o. H ) e. _V )
38		simpr3 1069	. . . 4 |- ( ( ( F e. _V /\ G e. _V ) /\ ( Fun H /\ ( F o. H ) e. _V /\ ( G o. H ) e. _V ) ) -> ( G o. H ) e. _V )
39		offval3 7162	. . . 4 |- ( ( ( F o. H ) e. _V /\ ( G o. H ) e. _V ) -> ( ( F o. H ) oF R ( G o. H ) ) = ( x e. ( dom ( F o. H ) i^i dom ( G o. H ) ) |-> ( ( ( F o. H ) ` x ) R ( ( G o. H ) ` x ) ) ) )
40	37, 38, 39	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( F e. _V /\ G e. _V ) /\ ( Fun H /\ ( F o. H ) e. _V /\ ( G o. H ) e. _V ) ) -> ( ( F o. H ) oF R ( G o. H ) ) = ( x e. ( dom ( F o. H ) i^i dom ( G o. H ) ) |-> ( ( ( F o. H ) ` x ) R ( ( G o. H ) ` x ) ) ) )
41		inpreima 6342	. . . . . 6 |- ( Fun H -> ( `' H " ( dom F i^i dom G ) ) = ( ( `' H " dom F ) i^i ( `' H " dom G ) ) )
42	1, 41	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( F e. _V /\ G e. _V ) /\ ( Fun H /\ ( F o. H ) e. _V /\ ( G o. H ) e. _V ) ) -> ( `' H " ( dom F i^i dom G ) ) = ( ( `' H " dom F ) i^i ( `' H " dom G ) ) )
43		dmco 5643	. . . . . 6 |- dom ( F o. H ) = ( `' H " dom F )
44		dmco 5643	. . . . . 6 |- dom ( G o. H ) = ( `' H " dom G )
45	43, 44	ineq12i 3812	. . . . 5 |- ( dom ( F o. H ) i^i dom ( G o. H ) ) = ( ( `' H " dom F ) i^i ( `' H " dom G ) )
46	42, 45	syl6reqr 2675	. . . 4 |- ( ( ( F e. _V /\ G e. _V ) /\ ( Fun H /\ ( F o. H ) e. _V /\ ( G o. H ) e. _V ) ) -> ( dom ( F o. H ) i^i dom ( G o. H ) ) = ( `' H " ( dom F i^i dom G ) ) )
47		simplr1 1103	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. _V /\ G e. _V ) /\ ( Fun H /\ ( F o. H ) e. _V /\ ( G o. H ) e. _V ) ) /\ x e. ( dom ( F o. H ) i^i dom ( G o. H ) ) ) -> Fun H )
48		inss2 3834	. . . . . . . . 9 |- ( dom ( F o. H ) i^i dom ( G o. H ) ) C_ dom ( G o. H )
49		dmcoss 5385	. . . . . . . . 9 |- dom ( G o. H ) C_ dom H
50	48, 49	sstri 3612	. . . . . . . 8 |- ( dom ( F o. H ) i^i dom ( G o. H ) ) C_ dom H
51	50	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. _V /\ G e. _V ) /\ ( Fun H /\ ( F o. H ) e. _V /\ ( G o. H ) e. _V ) ) -> ( dom ( F o. H ) i^i dom ( G o. H ) ) C_ dom H )
52	51	sselda 3603	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. _V /\ G e. _V ) /\ ( Fun H /\ ( F o. H ) e. _V /\ ( G o. H ) e. _V ) ) /\ x e. ( dom ( F o. H ) i^i dom ( G o. H ) ) ) -> x e. dom H )
53		fvco 6274	. . . . . 6 |- ( ( Fun H /\ x e. dom H ) -> ( ( F o. H ) ` x ) = ( F ` ( H ` x ) ) )
54	47, 52, 53	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( ( F e. _V /\ G e. _V ) /\ ( Fun H /\ ( F o. H ) e. _V /\ ( G o. H ) e. _V ) ) /\ x e. ( dom ( F o. H ) i^i dom ( G o. H ) ) ) -> ( ( F o. H ) ` x ) = ( F ` ( H ` x ) ) )
55		inss1 3833	. . . . . . . . 9 |- ( dom ( F o. H ) i^i dom ( G o. H ) ) C_ dom ( F o. H )
56		dmcoss 5385	. . . . . . . . 9 |- dom ( F o. H ) C_ dom H
57	55, 56	sstri 3612	. . . . . . . 8 |- ( dom ( F o. H ) i^i dom ( G o. H ) ) C_ dom H
58	57	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. _V /\ G e. _V ) /\ ( Fun H /\ ( F o. H ) e. _V /\ ( G o. H ) e. _V ) ) -> ( dom ( F o. H ) i^i dom ( G o. H ) ) C_ dom H )
59	58	sselda 3603	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. _V /\ G e. _V ) /\ ( Fun H /\ ( F o. H ) e. _V /\ ( G o. H ) e. _V ) ) /\ x e. ( dom ( F o. H ) i^i dom ( G o. H ) ) ) -> x e. dom H )
60		fvco 6274	. . . . . 6 |- ( ( Fun H /\ x e. dom H ) -> ( ( G o. H ) ` x ) = ( G ` ( H ` x ) ) )
61	47, 59, 60	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( ( F e. _V /\ G e. _V ) /\ ( Fun H /\ ( F o. H ) e. _V /\ ( G o. H ) e. _V ) ) /\ x e. ( dom ( F o. H ) i^i dom ( G o. H ) ) ) -> ( ( G o. H ) ` x ) = ( G ` ( H ` x ) ) )
62	54, 61	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ( ( ( F e. _V /\ G e. _V ) /\ ( Fun H /\ ( F o. H ) e. _V /\ ( G o. H ) e. _V ) ) /\ x e. ( dom ( F o. H ) i^i dom ( G o. H ) ) ) -> ( ( ( F o. H ) ` x ) R ( ( G o. H ) ` x ) ) = ( ( F ` ( H ` x ) ) R ( G ` ( H ` x ) ) ) )
63	46, 62	mpteq12dva 4732	. . 3 |- ( ( ( F e. _V /\ G e. _V ) /\ ( Fun H /\ ( F o. H ) e. _V /\ ( G o. H ) e. _V ) ) -> ( x e. ( dom ( F o. H ) i^i dom ( G o. H ) ) |-> ( ( ( F o. H ) ` x ) R ( ( G o. H ) ` x ) ) ) = ( x e. ( `' H " ( dom F i^i dom G ) ) |-> ( ( F ` ( H ` x ) ) R ( G ` ( H ` x ) ) ) ) )
64	40, 63	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( ( F e. _V /\ G e. _V ) /\ ( Fun H /\ ( F o. H ) e. _V /\ ( G o. H ) e. _V ) ) -> ( ( F o. H ) oF R ( G o. H ) ) = ( x e. ( `' H " ( dom F i^i dom G ) ) |-> ( ( F ` ( H ` x ) ) R ( G ` ( H ` x ) ) ) ) )
65	18, 36, 64	3eqtr4d 2666	1 |- ( ( ( F e. _V /\ G e. _V ) /\ ( Fun H /\ ( F o. H ) e. _V /\ ( G o. H ) e. _V ) ) -> ( ( F oF R G ) o. H ) = ( ( F o. H ) oF R ( G o. H ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   |` cres 5116   "cima 5117   o. ccom 5118   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897

This theorem is referenced by:  oftpos  20258