Theorem oftpos 20258

Description: The transposition of the value of a function operation for two functions is the value of the function operation for the two functions transposed. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
oftpos	|- ( ( F e. V /\ G e. W ) -> tpos ( F oF R G ) = (tpos F oF Rtpos G ) )

Proof of Theorem oftpos

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3212	. . . 4 |- ( F e. V -> F e. _V )
2	1	adantr 481	. . 3 |- ( ( F e. V /\ G e. W ) -> F e. _V )
3		elex 3212	. . . 4 |- ( G e. W -> G e. _V )
4	3	adantl 482	. . 3 |- ( ( F e. V /\ G e. W ) -> G e. _V )
5		funmpt 5926	. . . 4 |- Fun ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } )
6	5	a1i 11	. . 3 |- ( ( F e. V /\ G e. W ) -> Fun ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
7		dftpos4 7371	. . . 4 |- tpos F = ( F o. ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
8		tposexg 7366	. . . . 5 |- ( F e. V -> tpos F e. _V )
9	8	adantr 481	. . . 4 |- ( ( F e. V /\ G e. W ) -> tpos F e. _V )
10	7, 9	syl5eqelr 2706	. . 3 |- ( ( F e. V /\ G e. W ) -> ( F o. ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) e. _V )
11		dftpos4 7371	. . . 4 |- tpos G = ( G o. ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
12		tposexg 7366	. . . . 5 |- ( G e. W -> tpos G e. _V )
13	12	adantl 482	. . . 4 |- ( ( F e. V /\ G e. W ) -> tpos G e. _V )
14	11, 13	syl5eqelr 2706	. . 3 |- ( ( F e. V /\ G e. W ) -> ( G o. ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) e. _V )
15		ofco2 20257	. . 3 |- ( ( ( F e. _V /\ G e. _V ) /\ ( Fun ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) /\ ( F o. ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) e. _V /\ ( G o. ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) e. _V ) ) -> ( ( F oF R G ) o. ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) = ( ( F o. ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) oF R ( G o. ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) ) )
16	2, 4, 6, 10, 14, 15	syl23anc 1333	. 2 |- ( ( F e. V /\ G e. W ) -> ( ( F oF R G ) o. ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) = ( ( F o. ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) oF R ( G o. ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) ) )
17		dftpos4 7371	. 2 |- tpos ( F oF R G ) = ( ( F oF R G ) o. ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
18	7, 11	oveq12i 6662	. 2 |- (tpos F oF Rtpos G ) = ( ( F o. ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) oF R ( G o. ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) )
19	16, 17, 18	3eqtr4g 2681	1 |- ( ( F e. V /\ G e. W ) -> tpos ( F oF R G ) = (tpos F oF Rtpos G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   u. cun 3572   (/)c0 3915   {csn 4177   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   o. ccom 5118   Fun wfun 5882  (class class class)co 6650   oFcof 6895  tpos ctpos 7351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-tpos 7352

This theorem is referenced by:  mattposvs  20261