Theorem mattposvs 20261

Description: The transposition of a matrix multiplied with a scalar equals the transposed matrix multiplied with the scalar, see also the statement in [Lang] p. 505. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mattposvs.a	|- A = ( N Mat R )
mattposvs.b	|- B = ( Base ` A )
mattposvs.k	|- K = ( Base ` R )
mattposvs.v	|- .x. = ( .s ` A )

Assertion

Ref	Expression
mattposvs	|- ( ( X e. K /\ Y e. B ) -> tpos ( X .x. Y ) = ( X .x. tpos Y ) )

Proof of Theorem mattposvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mattposvs.a	. . . . . . . . 9 |- A = ( N Mat R )
2		mattposvs.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` A )
3	1, 2	matrcl 20218	. . . . . . . 8 |- ( Y e. B -> ( N e. Fin /\ R e. _V ) )
4	3	simpld 475	. . . . . . 7 |- ( Y e. B -> N e. Fin )
5		sqxpexg 6963	. . . . . . 7 |- ( N e. Fin -> ( N X. N ) e. _V )
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 |- ( Y e. B -> ( N X. N ) e. _V )
7		snex 4908	. . . . . 6 |- { X } e. _V
8		xpexg 6960	. . . . . 6 |- ( ( ( N X. N ) e. _V /\ { X } e. _V ) -> ( ( N X. N ) X. { X } ) e. _V )
9	6, 7, 8	sylancl 694	. . . . 5 |- ( Y e. B -> ( ( N X. N ) X. { X } ) e. _V )
10		oftpos 20258	. . . . 5 |- ( ( ( ( N X. N ) X. { X } ) e. _V /\ Y e. B ) -> tpos ( ( ( N X. N ) X. { X } ) oF ( .r ` R ) Y ) = (tpos ( ( N X. N ) X. { X } ) oF ( .r ` R )tpos Y ) )
11	9, 10	mpancom 703	. . . 4 |- ( Y e. B -> tpos ( ( ( N X. N ) X. { X } ) oF ( .r ` R ) Y ) = (tpos ( ( N X. N ) X. { X } ) oF ( .r ` R )tpos Y ) )
12		tposconst 7390	. . . . 5 |- tpos ( ( N X. N ) X. { X } ) = ( ( N X. N ) X. { X } )
13	12	oveq1i 6660	. . . 4 |- (tpos ( ( N X. N ) X. { X } ) oF ( .r ` R )tpos Y ) = ( ( ( N X. N ) X. { X } ) oF ( .r ` R )tpos Y )
14	11, 13	syl6eq 2672	. . 3 |- ( Y e. B -> tpos ( ( ( N X. N ) X. { X } ) oF ( .r ` R ) Y ) = ( ( ( N X. N ) X. { X } ) oF ( .r ` R )tpos Y ) )
15	14	adantl 482	. 2 |- ( ( X e. K /\ Y e. B ) -> tpos ( ( ( N X. N ) X. { X } ) oF ( .r ` R ) Y ) = ( ( ( N X. N ) X. { X } ) oF ( .r ` R )tpos Y ) )
16		mattposvs.k	. . . 4 |- K = ( Base ` R )
17		mattposvs.v	. . . 4 |- .x. = ( .s ` A )
18		eqid 2622	. . . 4 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
19		eqid 2622	. . . 4 |- ( N X. N ) = ( N X. N )
20	1, 2, 16, 17, 18, 19	matvsca2 20234	. . 3 |- ( ( X e. K /\ Y e. B ) -> ( X .x. Y ) = ( ( ( N X. N ) X. { X } ) oF ( .r ` R ) Y ) )
21	20	tposeqd 7355	. 2 |- ( ( X e. K /\ Y e. B ) -> tpos ( X .x. Y ) = tpos ( ( ( N X. N ) X. { X } ) oF ( .r ` R ) Y ) )
22	1, 2	mattposcl 20259	. . 3 |- ( Y e. B -> tpos Y e. B )
23	1, 2, 16, 17, 18, 19	matvsca2 20234	. . 3 |- ( ( X e. K /\ tpos Y e. B ) -> ( X .x. tpos Y ) = ( ( ( N X. N ) X. { X } ) oF ( .r ` R )tpos Y ) )
24	22, 23	sylan2 491	. 2 |- ( ( X e. K /\ Y e. B ) -> ( X .x. tpos Y ) = ( ( ( N X. N ) X. { X } ) oF ( .r ` R )tpos Y ) )
25	15, 21, 24	3eqtr4d 2666	1 |- ( ( X e. K /\ Y e. B ) -> tpos ( X .x. Y ) = ( X .x. tpos Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   {csn 4177   X. cxp 5112   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895  tpos ctpos 7351   Fincfn 7955   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   .scvsca 15945   Mat cmat 20213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-prds 16108  df-pws 16110  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mat 20214

This theorem is referenced by:  madulid  20451