Theorem tposexg 7366

Description: The transposition of a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposexg	|- ( F e. V -> tpos F e. _V )

Proof of Theorem tposexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tposssxp 7356	. 2 |- tpos F C_ ( ( `' dom F u. { (/) } ) X. ran F )
2		dmexg 7097	. . . . 5 |- ( F e. V -> dom F e. _V )
3		cnvexg 7112	. . . . 5 |- ( dom F e. _V -> `' dom F e. _V )
4	2, 3	syl 17	. . . 4 |- ( F e. V -> `' dom F e. _V )
5		p0ex 4853	. . . 4 |- { (/) } e. _V
6		unexg 6959	. . . 4 |- ( ( `' dom F e. _V /\ { (/) } e. _V ) -> ( `' dom F u. { (/) } ) e. _V )
7	4, 5, 6	sylancl 694	. . 3 |- ( F e. V -> ( `' dom F u. { (/) } ) e. _V )
8		rnexg 7098	. . 3 |- ( F e. V -> ran F e. _V )
9		xpexg 6960	. . 3 |- ( ( ( `' dom F u. { (/) } ) e. _V /\ ran F e. _V ) -> ( ( `' dom F u. { (/) } ) X. ran F ) e. _V )
10	7, 8, 9	syl2anc 693	. 2 |- ( F e. V -> ( ( `' dom F u. { (/) } ) X. ran F ) e. _V )
11		ssexg 4804	. 2 |- ( (tpos F C_ ( ( `' dom F u. { (/) } ) X. ran F ) /\ ( ( `' dom F u. { (/) } ) X. ran F ) e. _V ) -> tpos F e. _V )
12	1, 10, 11	sylancr 695	1 |- ( F e. V -> tpos F e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115  tpos ctpos 7351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-tpos 7352

This theorem is referenced by:  tposex  7386  oftpos  20258