Theorem dftpos4 7371

Description: Alternate definition of tpos. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dftpos4	|- tpos F = ( F o. ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )

Distinct variable group:   x, F

Proof of Theorem dftpos4

Dummy variables y w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tpos 7352	. . 3 |- tpos F = ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
2		relcnv 5503	. . . . . . 7 |- Rel `' dom F
3		df-rel 5121	. . . . . . 7 |- ( Rel `' dom F <-> `' dom F C_ ( _V X. _V ) )
4	2, 3	mpbi 220	. . . . . 6 |- `' dom F C_ ( _V X. _V )
5		unss1 3782	. . . . . 6 |- ( `' dom F C_ ( _V X. _V ) -> ( `' dom F u. { (/) } ) C_ ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) )
6		resmpt 5449	. . . . . 6 |- ( ( `' dom F u. { (/) } ) C_ ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) -> ( ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) |` ( `' dom F u. { (/) } ) ) = ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
7	4, 5, 6	mp2b 10	. . . . 5 |- ( ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) |` ( `' dom F u. { (/) } ) ) = ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } )
8		resss 5422	. . . . 5 |- ( ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) |` ( `' dom F u. { (/) } ) ) C_ ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } )
9	7, 8	eqsstr3i 3636	. . . 4 |- ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) C_ ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } )
10		coss2 5278	. . . 4 |- ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) C_ ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) -> ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) C_ ( F o. ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . 3 |- ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) C_ ( F o. ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
12	1, 11	eqsstri 3635	. 2 |- tpos F C_ ( F o. ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
13		relco 5633	. . 3 |- Rel ( F o. ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
14		vex 3203	. . . . 5 |- y e. _V
15		vex 3203	. . . . 5 |- z e. _V
16	14, 15	opelco 5293	. . . 4 |- ( <. y , z >. e. ( F o. ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) <-> E. w ( y ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) w /\ w F z ) )
17		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- w e. _V
18		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) <-> y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) ) )
19		sneq 4187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> { x } = { y } )
20	19	cnveqd 5298	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> `' { x } = `' { y } )
21	20	unieqd 4446	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> U. `' { x } = U. `' { y } )
22	21	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( z = U. `' { x } <-> z = U. `' { y } ) )
23	18, 22	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ z = U. `' { x } ) <-> ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ z = U. `' { y } ) ) )
24		eqeq1 2626	. . . . . . . . . 10 |- ( z = w -> ( z = U. `' { y } <-> w = U. `' { y } ) )
25	24	anbi2d 740	. . . . . . . . 9 |- ( z = w -> ( ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ z = U. `' { y } ) <-> ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ w = U. `' { y } ) ) )
26		df-mpt 4730	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) = { <. x , z >. | ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ z = U. `' { x } ) }
27	14, 17, 23, 25, 26	brab 4998	. . . . . . . 8 |- ( y ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) w <-> ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ w = U. `' { y } ) )
28		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ w = U. `' { y } ) /\ w F z ) -> w = U. `' { y } )
29	17, 15	breldm 5329	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w F z -> w e. dom F )
30	29	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ w = U. `' { y } ) /\ w F z ) -> w e. dom F )
31	28, 30	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ w = U. `' { y } ) /\ w F z ) -> U. `' { y } e. dom F )
32		elvv 5177	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( _V X. _V ) <-> E. z E. w y = <. z , w >. )
33		opswap 5622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U. `' { <. z , w >. } = <. w , z >.
34	33	eleq1i 2692	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( U. `' { <. z , w >. } e. dom F <-> <. w , z >. e. dom F )
35	15, 17	opelcnv 5304	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( <. z , w >. e. `' dom F <-> <. w , z >. e. dom F )
36	34, 35	bitr4i 267	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( U. `' { <. z , w >. } e. dom F <-> <. z , w >. e. `' dom F )
37		sneq 4187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = <. z , w >. -> { y } = { <. z , w >. } )
38	37	cnveqd 5298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = <. z , w >. -> `' { y } = `' { <. z , w >. } )
39	38	unieqd 4446	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = <. z , w >. -> U. `' { y } = U. `' { <. z , w >. } )
40	39	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = <. z , w >. -> ( U. `' { y } e. dom F <-> U. `' { <. z , w >. } e. dom F ) )
41		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = <. z , w >. -> ( y e. `' dom F <-> <. z , w >. e. `' dom F ) )
42	40, 41	bibi12d 335	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = <. z , w >. -> ( ( U. `' { y } e. dom F <-> y e. `' dom F ) <-> ( U. `' { <. z , w >. } e. dom F <-> <. z , w >. e. `' dom F ) ) )
43	36, 42	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = <. z , w >. -> ( U. `' { y } e. dom F <-> y e. `' dom F ) )
44	43	exlimivv 1860	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. z E. w y = <. z , w >. -> ( U. `' { y } e. dom F <-> y e. `' dom F ) )
45	32, 44	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( _V X. _V ) -> ( U. `' { y } e. dom F <-> y e. `' dom F ) )
46	45	biimpcd 239	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U. `' { y } e. dom F -> ( y e. ( _V X. _V ) -> y e. `' dom F ) )
47		elun1 3780	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. `' dom F -> y e. ( `' dom F u. { (/) } ) )
48	46, 47	syl6 35	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. `' { y } e. dom F -> ( y e. ( _V X. _V ) -> y e. ( `' dom F u. { (/) } ) ) )
49	31, 48	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ w = U. `' { y } ) /\ w F z ) -> ( y e. ( _V X. _V ) -> y e. ( `' dom F u. { (/) } ) ) )
50		elun2 3781	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. { (/) } -> y e. ( `' dom F u. { (/) } ) )
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ w = U. `' { y } ) /\ w F z ) -> ( y e. { (/) } -> y e. ( `' dom F u. { (/) } ) ) )
52		simpll 790	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ w = U. `' { y } ) /\ w F z ) -> y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) )
53		elun 3753	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) <-> ( y e. ( _V X. _V ) \/ y e. { (/) } ) )
54	52, 53	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ w = U. `' { y } ) /\ w F z ) -> ( y e. ( _V X. _V ) \/ y e. { (/) } ) )
55	49, 51, 54	mpjaod 396	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ w = U. `' { y } ) /\ w F z ) -> y e. ( `' dom F u. { (/) } ) )
56		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ w = U. `' { y } ) /\ w F z ) -> w F z )
57	28, 56	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ w = U. `' { y } ) /\ w F z ) -> U. `' { y } F z )
58	55, 57	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ w = U. `' { y } ) /\ w F z ) -> ( y e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { y } F z ) )
59	27, 58	sylanb 489	. . . . . . 7 |- ( ( y ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) w /\ w F z ) -> ( y e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { y } F z ) )
60		brtpos2 7358	. . . . . . . 8 |- ( z e. _V -> ( ytpos F z <-> ( y e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { y } F z ) ) )
61	15, 60	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ytpos F z <-> ( y e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { y } F z ) )
62	59, 61	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( y ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) w /\ w F z ) -> ytpos F z )
63		df-br 4654	. . . . . 6 |- ( ytpos F z <-> <. y , z >. e. tpos F )
64	62, 63	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( y ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) w /\ w F z ) -> <. y , z >. e. tpos F )
65	64	exlimiv 1858	. . . 4 |- ( E. w ( y ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) w /\ w F z ) -> <. y , z >. e. tpos F )
66	16, 65	sylbi 207	. . 3 |- ( <. y , z >. e. ( F o. ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) -> <. y , z >. e. tpos F )
67	13, 66	relssi 5211	. 2 |- ( F o. ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) C_ tpos F
68	12, 67	eqssi 3619	1 |- tpos F = ( F o. ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cop 4183   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   |` cres 5116   o. ccom 5118   Rel wrel 5119  tpos ctpos 7351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-fv 5896  df-tpos 7352

This theorem is referenced by:  tposco  7383  nftpos  7387  oftpos  20258