Theorem oldmj2 34509

Description: De Morgan's law for join in an ortholattice. (chdmj2 28389 analog.) (Contributed by NM, 7-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
oldmm1.b	|- B = ( Base ` K )
oldmm1.j	|- .\/ = ( join ` K )
oldmm1.m	|- ./\ = ( meet ` K )
oldmm1.o	|- ._|_ = ( oc ` K )

Assertion

Ref	Expression
oldmj2	|- ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) .\/ Y ) ) = ( X ./\ ( ._|_ ` Y ) ) )

Proof of Theorem oldmj2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		olop 34501	. . . . 5 |- ( K e. OL -> K e. OP )
2		oldmm1.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` K )
3		oldmm1.o	. . . . . 6 |- ._|_ = ( oc ` K )
4	2, 3	opoccl 34481	. . . . 5 |- ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B )
5	1, 4	sylan 488	. . . 4 |- ( ( K e. OL /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B )
6	5	3adant3 1081	. . 3 |- ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` X ) e. B )
7		oldmm1.j	. . . 4 |- .\/ = ( join ` K )
8		oldmm1.m	. . . 4 |- ./\ = ( meet ` K )
9	2, 7, 8, 3	oldmj1 34508	. . 3 |- ( ( K e. OL /\ ( ._|_ ` X ) e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) .\/ Y ) ) = ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) ./\ ( ._|_ ` Y ) ) )
10	6, 9	syld3an2 1373	. 2 |- ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) .\/ Y ) ) = ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) ./\ ( ._|_ ` Y ) ) )
11	2, 3	opococ 34482	. . . . 5 |- ( ( K e. OP /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X )
12	1, 11	sylan 488	. . . 4 |- ( ( K e. OL /\ X e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X )
13	12	3adant3 1081	. . 3 |- ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X )
14	13	oveq1d 6665	. 2 |- ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) ./\ ( ._|_ ` Y ) ) = ( X ./\ ( ._|_ ` Y ) ) )
15	10, 14	eqtrd 2656	1 |- ( ( K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) .\/ Y ) ) = ( X ./\ ( ._|_ ` Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   occoc 15949   joincjn 16944   meetcmee 16945   OPcops 34459   OLcol 34461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-preset 16928  df-poset 16946  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-lat 17046  df-oposet 34463  df-ol 34465

This theorem is referenced by:  oldmj4  34511  latmassOLD  34516  cmtcomlemN  34535