Theorem omsinds 7084

Description: Strong (or "total") induction principle over the finite ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
omsinds.1	|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
omsinds.2	|- ( x = A -> ( ph <-> ch ) )
omsinds.3	|- ( x e. om -> ( A. y e. x ps -> ph ) )

Assertion

Ref	Expression
omsinds	|- ( A e. om -> ch )

Distinct variable groups:   x, A   ch, x   ph, y   ps, x   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)   ch( y)   A( y)

Proof of Theorem omsinds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omsson 7069	. . 3 |- om C_ On
2		epweon 6983	. . 3 |- _E We On
3		wess 5101	. . 3 |- ( om C_ On -> ( _E We On -> _E We om ) )
4	1, 2, 3	mp2 9	. 2 |- _E We om
5		epse 5097	. 2 |- _E Se om
6		omsinds.1	. 2 |- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
7		omsinds.2	. 2 |- ( x = A -> ( ph <-> ch ) )
8		predep 5706	. . . . 5 |- ( x e. om -> Pred ( _E , om , x ) = ( om i^i x ) )
9		ordom 7074	. . . . . . 7 |- Ord om
10		ordtr 5737	. . . . . . 7 |- ( Ord om -> Tr om )
11		trss 4761	. . . . . . 7 |- ( Tr om -> ( x e. om -> x C_ om ) )
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . . . . 6 |- ( x e. om -> x C_ om )
13		sseqin2 3817	. . . . . 6 |- ( x C_ om <-> ( om i^i x ) = x )
14	12, 13	sylib 208	. . . . 5 |- ( x e. om -> ( om i^i x ) = x )
15	8, 14	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( x e. om -> Pred ( _E , om , x ) = x )
16	15	raleqdv 3144	. . 3 |- ( x e. om -> ( A. y e. Pred ( _E , om , x ) ps <-> A. y e. x ps ) )
17		omsinds.3	. . 3 |- ( x e. om -> ( A. y e. x ps -> ph ) )
18	16, 17	sylbid 230	. 2 |- ( x e. om -> ( A. y e. Pred ( _E , om , x ) ps -> ph ) )
19	4, 5, 6, 7, 18	wfis3 5721	1 |- ( A e. om -> ch )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   i^i cin 3573   C_ wss 3574   Tr wtr 4752   _E cep 5028   We wwe 5072   Predcpred 5679   Ord word 5722   Oncon0 5723   omcom 7065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-om 7066

This theorem is referenced by: (None)