Theorem opnnei 20924

Description: A set is open iff it is a neighborhood of all of its points. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
opnnei	|- ( J e. Top -> ( S e. J <-> A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) )

Distinct variable groups:   x, J   x, S

Proof of Theorem opnnei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0opn 20709	. . . . 5 |- ( J e. Top -> (/) e. J )
2	1	adantr 481	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S = (/) ) -> (/) e. J )
3		eleq1 2689	. . . . 5 |- ( S = (/) -> ( S e. J <-> (/) e. J ) )
4	3	adantl 482	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S = (/) ) -> ( S e. J <-> (/) e. J ) )
5	2, 4	mpbird 247	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S = (/) ) -> S e. J )
6		rzal 4073	. . . 4 |- ( S = (/) -> A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
7	6	adantl 482	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S = (/) ) -> A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
8	5, 7	2thd 255	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S = (/) ) -> ( S e. J <-> A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) )
9		opnneip 20923	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ S e. J /\ x e. S ) -> S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
10	9	3expia 1267	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ S e. J ) -> ( x e. S -> S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) )
11	10	ralrimiv 2965	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ S e. J ) -> A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
12	11	ex 450	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( S e. J -> A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) )
13	12	adantr 481	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ -. S = (/) ) -> ( S e. J -> A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) )
14		df-ne 2795	. . . . . 6 |- ( S =/= (/) <-> -. S = (/) )
15		r19.2z 4060	. . . . . . 7 |- ( ( S =/= (/) /\ A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) -> E. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) )
16	15	ex 450	. . . . . 6 |- ( S =/= (/) -> ( A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> E. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) )
17	14, 16	sylbir 225	. . . . 5 |- ( -. S = (/) -> ( A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> E. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) )
18		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- U. J = U. J
19	18	neii1 20910	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) -> S C_ U. J )
20	19	ex 450	. . . . . 6 |- ( J e. Top -> ( S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> S C_ U. J ) )
21	20	rexlimdvw 3034	. . . . 5 |- ( J e. Top -> ( E. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> S C_ U. J ) )
22	17, 21	sylan9r 690	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ -. S = (/) ) -> ( A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> S C_ U. J ) )
23	18	ntrss2 20861	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( ( int ` J ) ` S ) C_ S )
24	23	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) /\ A. x e. S { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) ) -> ( ( int ` J ) ` S ) C_ S )
25		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
26	25	snss 4316	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( ( int ` J ) ` S ) <-> { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) )
27	26	ralbii 2980	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. S x e. ( ( int ` J ) ` S ) <-> A. x e. S { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) )
28		dfss3 3592	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S C_ ( ( int ` J ) ` S ) <-> A. x e. S x e. ( ( int ` J ) ` S ) )
29	28	biimpri 218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. S x e. ( ( int ` J ) ` S ) -> S C_ ( ( int ` J ) ` S ) )
30	29	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) /\ A. x e. S x e. ( ( int ` J ) ` S ) ) -> S C_ ( ( int ` J ) ` S ) )
31	27, 30	sylan2br 493	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) /\ A. x e. S { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) ) -> S C_ ( ( int ` J ) ` S ) )
32	24, 31	eqssd 3620	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) /\ A. x e. S { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) ) -> ( ( int ` J ) ` S ) = S )
33	32	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( A. x e. S { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) -> ( ( int ` J ) ` S ) = S ) )
34	25	snss 4316	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. S <-> { x } C_ S )
35		sstr2 3610	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { x } C_ S -> ( S C_ U. J -> { x } C_ U. J ) )
36	35	com12 32	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S C_ U. J -> ( { x } C_ S -> { x } C_ U. J ) )
37	36	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( { x } C_ S -> { x } C_ U. J ) )
38	34, 37	syl5bi 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( x e. S -> { x } C_ U. J ) )
39	38	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) /\ x e. S ) -> { x } C_ U. J )
40	18	neiint 20908	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ { x } C_ U. J /\ S C_ U. J ) -> ( S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) <-> { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) ) )
41	40	3com23 1271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J /\ { x } C_ U. J ) -> ( S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) <-> { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) ) )
42	41	3expa 1265	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) /\ { x } C_ U. J ) -> ( S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) <-> { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) ) )
43	39, 42	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) /\ x e. S ) -> ( S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) <-> { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) ) )
44	43	ralbidva 2985	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) <-> A. x e. S { x } C_ ( ( int ` J ) ` S ) ) )
45	18	isopn3 20870	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( S e. J <-> ( ( int ` J ) ` S ) = S ) )
46	33, 44, 45	3imtr4d 283	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> S e. J ) )
47	46	ex 450	. . . . . 6 |- ( J e. Top -> ( S C_ U. J -> ( A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> S e. J ) ) )
48	47	com23 86	. . . . 5 |- ( J e. Top -> ( A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> ( S C_ U. J -> S e. J ) ) )
49	48	adantr 481	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ -. S = (/) ) -> ( A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> ( S C_ U. J -> S e. J ) ) )
50	22, 49	mpdd 43	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ -. S = (/) ) -> ( A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) -> S e. J ) )
51	13, 50	impbid 202	. 2 |- ( ( J e. Top /\ -. S = (/) ) -> ( S e. J <-> A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) )
52	8, 51	pm2.61dan 832	1 |- ( J e. Top -> ( S e. J <-> A. x e. S S e. ( ( nei ` J ) ` { x } ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   U.cuni 4436   ` cfv 5888   Topctop 20698   intcnt 20821   neicnei 20901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-top 20699  df-ntr 20824  df-nei 20902

This theorem is referenced by:  neiptopreu  20937  flimcf  21786