Theorem opswap 5622

Description: Swap the members of an ordered pair. (Contributed by NM, 14-Dec-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
opswap	|- U. `' { <. A , B >. } = <. B , A >.

Proof of Theorem opswap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvsng 5621	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> `' { <. A , B >. } = { <. B , A >. } )
2	1	unieqd 4446	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> U. `' { <. A , B >. } = U. { <. B , A >. } )
3		opex 4932	. . . 4 |- <. B , A >. e. _V
4	3	unisn 4451	. . 3 |- U. { <. B , A >. } = <. B , A >.
5	2, 4	syl6eq 2672	. 2 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> U. `' { <. A , B >. } = <. B , A >. )
6		uni0 4465	. . 3 |- U. (/) = (/)
7		opprc 4424	. . . . . . 7 |- ( -. ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <. A , B >. = (/) )
8	7	sneqd 4189	. . . . . 6 |- ( -. ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { <. A , B >. } = { (/) } )
9	8	cnveqd 5298	. . . . 5 |- ( -. ( A e. _V /\ B e. _V ) -> `' { <. A , B >. } = `' { (/) } )
10		cnvsn0 5603	. . . . 5 |- `' { (/) } = (/)
11	9, 10	syl6eq 2672	. . . 4 |- ( -. ( A e. _V /\ B e. _V ) -> `' { <. A , B >. } = (/) )
12	11	unieqd 4446	. . 3 |- ( -. ( A e. _V /\ B e. _V ) -> U. `' { <. A , B >. } = U. (/) )
13		ancom 466	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) <-> ( B e. _V /\ A e. _V ) )
14		opprc 4424	. . . 4 |- ( -. ( B e. _V /\ A e. _V ) -> <. B , A >. = (/) )
15	13, 14	sylnbi 320	. . 3 |- ( -. ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <. B , A >. = (/) )
16	6, 12, 15	3eqtr4a 2682	. 2 |- ( -. ( A e. _V /\ B e. _V ) -> U. `' { <. A , B >. } = <. B , A >. )
17	5, 16	pm2.61i 176	1 |- U. `' { <. A , B >. } = <. B , A >.

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cop 4183   U.cuni 4436   `'ccnv 5113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125

This theorem is referenced by:  2nd1st  7213  cnvf1olem  7275  brtpos  7361  dftpos4  7371  tpostpos  7372  xpcomco  8050  fsumcnv  14504  fprodcnv  14713  gsumcom2  18374  txswaphmeolem  21607